Question

（2012•雨花臺(tái)區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，D是BC邊上一點(diǎn)，CD=3cm，點(diǎn)P為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、C不重合），過點(diǎn)P作PE∥BC，交AD于點(diǎn)E．點(diǎn)P以1cm/s的速度從A到C勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），DE的長(zhǎng)為y（cm），求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以PE為半徑的⊙E與以DB為半徑的⊙D外切？并求此時(shí)∠DPE的正切值；
（3）將△ABD沿直線AD翻折，得到△AB’D，連接B’C．如果∠ACE=∠BCB’，求t的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)勾股定理求得AD的長(zhǎng)，又由平行線分線段成比例定理求得DE的長(zhǎng)，則可得y與x的關(guān)系；
（2）因?yàn)楫?dāng)以PE為半徑的⊙E與DB為半徑的⊙D外切時(shí)，有DE=PE+BD，所以可以求得t的值，即可求得PC的長(zhǎng)，則在Rt△PCD中，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得tan∠DPE的值；
（3）首先由有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得：△ACD∽△BFD與△ACE∽△BCB′，又由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AP的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵PE∥BC，AP=t，
∴

AP

AC

=

AE

AD

，
∴

t

4

=

AE

5

，
∴AE=

5

4

t，
∴DE=5-

5

4

t，
∴y=5-

5

4

t，（0＜t＜4）；

（2）連接PD，
當(dāng)以PE為半徑的⊙E與DB為半徑的⊙D外切時(shí)，有DE=PE+BD，即5-

5

4

t=

3

4

t+2，
解得：t=

3

2

則PC=

5

2

，
∵PE∥BC，
∴∠DPE=∠PDC，
在Rt△PCD中，
tan∠PDC=

PC

CD

=

5 2

3

=

5

6

；
則tan∠DPE=

5

6

；

（3）延長(zhǎng)AD交BB′于F，則AF⊥BB′，
則∠ACD=∠BFD，
∵∠ADC=∠FDB，
∴∠CAD=∠FBD，
∴△ACD∽△BFD，
∴BF=

8

5

，
∴BB′=

16

5

，
∵∠ACE=∠BCB′，∠CAE=∠CBB′，
∴△ACE∽△BCB′，
∴AE=

64

25

，
∴t=AP=

256

125

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)等．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．