Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+m的圖象經(jīng)過點P（4，5），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，且S△PAB＝10．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點Q使得△PAQ和△PBQ的面積相等？若存在，求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）過A、P、C三點的圓與拋物線交于另一點D，求出D點坐標及四邊形PACD的周長．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點Q的坐標為：（﹣2，5）或（﹣，﹣）；（3）6+4．

【解析】

（1）因為拋物線y＝ax2﹣2ax+m，函數(shù)的對稱軸為：x＝1，S△PAB＝10＝×AB×yP＝AB×5，解得AB=4，即可求解；（2）分A、B在點Q（Q′）的同側(cè)；點A、B在點Q的兩側(cè)兩種情況，分別求解即可；（3）過點P作PO′⊥x軸于點O′，則點O′（4，0），則AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圓O′是過A、P、C三點的圓，即可求解．

解：

（1）y＝ax2﹣2ax+m，函數(shù)的對稱軸為：x＝1，

S△PAB＝10＝×AB×yP＝AB×5，解得：AB＝4，

故點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0），

拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），

將點P的坐標代入上式并解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）①當A、B在點Q（Q′）的同側(cè)時，如圖1，

△PAQ′和△PBQ′的面積相等，則點P、Q′關(guān)于對稱軸對稱，

故點Q′（﹣2，5）；

②當A、B在點Q的兩側(cè)時，如圖1，

設(shè)PQ交x軸于點E，分別過點A、B作PQ的垂線交于點M、N，

△PAQ和△PBQ的面積相等，則AM＝BN，

而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°，

∴△AME≌△BNE（AAS），

∴AE＝BE，

即點E是AB的中點，則點E（1，0），

將點P、E的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線PQ的表達式為：y＝x﹣…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣或4（舍去4），

故點Q（﹣，﹣），

綜上，點Q的坐標為：（﹣2，5）或（﹣，﹣）；

（3）過點P作PO′⊥x軸于點O′，則點O′（4，0），則AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，

故圓O′是過A、P、C三點的圓，

設(shè)點D（m，m2﹣2m﹣3），點O′（4，0），則DO′＝5，

即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25，

化簡得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0，

解得：m＝0或﹣1或1或4（舍去0，﹣1，4），

故：m＝1，

故點D（1，﹣4）；

四邊形PACD的周長＝PA+AC+CD+PD＝．