Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+2與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中B（4，0）、C（﹣2，0），連接AB、AC，在第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，過D作DE⊥x軸，垂足為E，交AB于點(diǎn)F．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）在DE上作點(diǎn)G，使G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱，以G為圓心，GD為半徑作圓，當(dāng)⊙G與其中一條坐標(biāo)軸相切時(shí)，求G點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）過D點(diǎn)作直線DH∥AC交AB于H，當(dāng)△DHF的面積最大時(shí)，在拋物線和直線AB上分別取M、N兩點(diǎn)，并使D、H、M、N四點(diǎn)組成平行四邊形，請(qǐng)你直接寫出符合要求的M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵B，C兩點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+2上，

∴，

解得：．

∴所求的拋物線為：y=．

（2）

拋物線y=，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

∴，

解得：．

∴直線AB的解析式為y=x+2，

設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+2），則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，），

∵G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱，

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，），

若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得⊙G與其中一條坐標(biāo)軸相切，

①若⊙G與x軸相切則必須由DG=GE，

即，

解得：x=，x=4（舍去）；

②若⊙G與y軸相切則必須由DG=OE，

即

解得：x=2，x=0（舍去）．

綜上，以G為圓心，GD為半徑作圓，當(dāng)⊙G與其中一條坐標(biāo)軸相切時(shí)，G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．

（3）

M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2±，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±．

【解析】（1）根據(jù)B，C兩點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+2上，代入拋物線得到方程組，求出a，b的值，即可解答；
（2）先求出直線AB的解析式為y=﹣x+2，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-x+2），則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，），根據(jù)G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱，所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，），若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得⊙G與其中一條坐標(biāo)軸相切，分兩種情況解答：①若⊙G與x軸相切則必須由DG=GE；②若⊙G與y軸相切則必須由DG=OE；
（3）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2±2，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±2．