Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，現(xiàn)將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)的A′落在直線y=x上時(shí)，點(diǎn)A′的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為________；點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_________；

（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)．

①如圖2，在正方形OABC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AM，MN，NC三者滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)AC∥MN時(shí)，求△MBN內(nèi)切圓的半徑（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1），；（2）①AM+CN=MN,理由見解析；②．

【解析】

（1）如圖1中，作A′H⊥OB′于H．易知△OA′H是等腰直角三角形，點(diǎn)B′在x軸上，由此即可解決問(wèn)題；

（2）①結(jié)論：AM+CN=MN；延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，由△OAE≌△OCN（ASA），推出△OME≌△OMN（SAS），可得MN=ME=AM+AE，推出MN=AM+CN；

②利用①中結(jié)論，求出BM、BN、MN，根據(jù)△BMN的內(nèi)切圓半徑計(jì)算即可.

解：（1）如圖1中，作A′H⊥OB′于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OC=BC=AB=2，∠BOC=45°=45，，

∵OA′=2，

∴，

∴，

∵旋轉(zhuǎn)角為45°，

∴B′在x軸上，

∴，

故答案為，；

（2）①結(jié)論：AM+CN=MN；

理由：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，

則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，

∴∠AOE=∠CON，

又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN，

在△OAE和△OCN中，

，

∴△OAE≌△OCN（ASA），

∴OE=ON，AE=CN，

在△OME和△OMN中

，

∴△OME≌△OMN（SAS）．

∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

②∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM，

∴BM=BN，∵BA=BC，

∴AM=NC，

設(shè)AM=NC=a，則MN=2a，

在Rt△BMN中，（2a）2=（2﹣a）2+（2﹣a）2，

解得或（舍棄），

∴，，

∴△BMN的內(nèi)切圓半徑．