Question

【題目】我們定義：“四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的正方形是三角形的內(nèi)接正方形”.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3.

（1）如圖l，四邊形CDEF是△ABC的內(nèi)接正方形，則正方形CDEF的邊長(zhǎng)a1是________；

（2）如圖2，四邊形DGHI是（1）中△EDA的內(nèi)接正方形，那么第2個(gè)正方形DGHI的邊長(zhǎng)記為a2；繼續(xù)在圖2中的△HGA中按上述方法作第3個(gè)內(nèi)接正方形……以此類推，則第n個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)an=____. （n為正整數(shù)）

Answer 1

【答案】 2

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)可以得出△BFE∽△BCA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以把正方形CDEF的邊長(zhǎng)表示出來(lái)，從而得出結(jié)論．

（2）由正方形的性質(zhì)可以得出△EIH∽△EDA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以把正方形IDGF的邊長(zhǎng)表示出來(lái)，從而得出結(jié)論，通過(guò)計(jì)算得出的結(jié)論尋找其中的變化規(guī)律就可以得出第n個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)的值．

解：（1）四邊形CDEF是正方形，

∴EF=FC，EF∥FC，

∴△BFE∽△BCA，

∴=．設(shè)EF=FC=a，

∴=，

∴a=2，

故答案是：2

（2）如圖（2）四邊形DGHI是正方形，

∴IH=ID，IH∥AD，

∴△EIH∽△EDA，

∴=，設(shè)IH=ID=b，AD=4，DE=2，

∴=，

∴b=，

故答案是：，

如圖（3）由以上同樣的方法可以求得正方形PGQS的邊長(zhǎng)為：=，

∴第4的個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：=…

∴第n個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)an=

故答案為：．

本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用及規(guī)律的探索．