【題目】在小學(xué),我們知道正方形具有性質(zhì)“四條邊都相等,四個內(nèi)角都是直角”,請適當(dāng)利用上述知識,解答下列問題:
已知:如圖,在正方形ABCD中,AB=4,點G是射線AB上的一個動點,以DG為邊向右作正方形DGEF,作EH⊥AB于點H.

(1)填空:∠AGD+∠EGH=°;
(2)若點G在點B的右邊.
①求證:△DAG≌△GHE;
②試探索:EH﹣BG的值是否為定值,若是,請求出定值;若不是,請說明理由.
(3)連接EB,在G點的整個運(yùn)動(點G與點A重合除外)過程中,求∠EBH的度數(shù);若點G是直線AB上的一個動點,其余條件不變,請直接寫出點A與點F之間距離的最小值.

【答案】
(1)90
(2)

解:①∵EH⊥AB,

∴∠GHE=90°,

∴∠GEH+∠EGH=90°,

又∠AGD+∠EGH=90°,

∴∠GEH=∠AGD,

∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形,

∴∠DAG=90°,DG=GE,

∴∠DAG=∠GHE,

在△DAG和△GHE中, ,

∴△DAG≌△GHE(AAS);

②EH﹣BG的值是定值,

理由如下:

由①證得:△DAG≌△GHE,

∴AG=EH,

又AG=AB+BG,AB=4,

∴EH=AB+BG,EH﹣BG=AB=4


(3)

解:下面分兩種情況討論:

(I)當(dāng)點G在點B的左側(cè)時,如圖1,同(2)①可證得:△DAG≌△GHE,

∴GH=DA=AB,EH=AG,

∴GB+BH=AG+GB,

∴BH=AG=EH,又∠GHE=90°

∴△BHE是等腰直角三角形,

∴∠EBH=45°;

(II)如圖2,當(dāng)點G在點B的右側(cè)時,

由(2)①證得:△DAG≌△GHE.

∴GH=DA=AB,EH=AG,

∴AB+BG=BG+GH,

∴AG=BH,又EH=AG

∴EH=HB,又∠GHE=90°

∴△BHE是等腰直角三角形,

∴∠EBH=45°;

( III)當(dāng)點G與點B重合時,如圖3,同理可證:△DAG≌△GHE,

∴GH=DA=AB,EH=AG=AB,

∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形,

∴∠EBH=45°

綜上,在G點的整個運(yùn)動(點G與點A重合除外)過程中,∠EBH都等于45°,

∴點A與點F之間距離的最小值為4.


【解析】解:(1)∵四邊形DGEF是正方形,
∴∠DGE=90°,
∴∠AGD+∠EGH=180°﹣∠DGE=90°,
所以答案是:90;
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

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