【題目】如圖,在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE.過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P.若AE=AP=1,PB=,下列結(jié)論:① △APD≌△AEB;② EB⊥ED;③ 點(diǎn)B到直線AE的距離為; ④,其中正確結(jié)論的序號是( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

【答案】B

【解析】

①利用同角的余角相等,易得∠EAB=PAD,再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等;②利用①中的全等,可得∠APD=AEB,結(jié)合三角形的外角的性質(zhì),易得∠BEP=90°,即可證;③過BBFAE,交AE的延長線于F,利用③中的∠BEP=90°,利用勾股定理可求BE,結(jié)合AEP是等腰直角三角形,可證BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EF、BF;④連接BD,求出ABD的面積,然后減去BDP的面積即可.

:①∵∠EAB+BAP=90°,

PAD十∠BAP=90°,

∴∠EAB=PAD,

又∵AE=AP,AB=AD,

∵在APDAEB中,

APD≌△AEB(SAS);

故此選項(xiàng)成立;

②∵△APD=AEB,

∴∠APD=AEB,

∵∠AEB=AEP+BEP,

APD=AEP+PAE,

∴∠BEP=PAE= 90°,

EBED;

故此選項(xiàng)成立;

③過BBFAE ,AE的延長線于F,

AE=AP,EAP=90°,

∴∠AEP=APE=45°,

又∵③中EBED,BFAF,

又∵BE=,

BF=EF=,

∴點(diǎn)B到直線AE的距離為,

故此選項(xiàng)不正確,

④如圖,連接BD,

RtAEP,

AE=AP=1,

EP=,

又∵PB=,

BE=,

∵△APD≌△AEB,

PD=BE=,

SABP+SADP=SABD-SBDP=S正方形ABCD×DP×BE=×(4+)-××,

故此選項(xiàng)不正確,

∴正確的有①②④,

B選項(xiàng)正確.

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