【題目】已知:如圖,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE與CD相交于點F.
求證:BF=AC.

【答案】證明:∵CD⊥AB,

∴∠BDC=∠CDA=90°;

∵∠ABC=45°,

∴∠DCB=∠ABC=45°(三角形的內(nèi)角和定理),

∴DB=DC(等角對等邊);

∵BE⊥AC,

∴∠AEB=90°,

∴∠A+∠ABE=90°(直角三角形的兩個銳角互為余角);

∵∠CDA=90°,

∴∠A+∠ACD=90°,

∴∠ABE=∠ACD(同角的余角相等);

在△BDF和△CDA中,

∴△BDF≌△CDA(ASA),

∴BF=AC(全等三角形的對應邊相等).


【解析】要證BF=AC,就需要證明△BDF和△CDA全等,由已知條件可知它們是直角三角形。抓住題中關鍵的已知條件∠ABC=45°,CD⊥AB于D,可得到△BDC是等腰直角三角形,得出DB=DC。再根據(jù)同角的余角相等或等角的余角相等,可得到兩三角形的另一組對應角相等,即可證得結論。
【考點精析】認真審題,首先需要了解余角和補角的特征(互余、互補是指兩個角的數(shù)量關系,與兩個角的位置無關).

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