Question

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列6個(gè)結(jié)論正確的有________個(gè).

①ac<0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④對(duì)于任意x均有ax2+bx≥a+b；⑤3a+c=0；⑥b+2c<0；⑦當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x的增大而減小

Answer 1

【答案】5

【解析】①∵圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0），（3，0），∴對(duì)稱軸為x=1，

∵拋物線的開(kāi)口向上，∴a＞0，

∵與y軸的交點(diǎn)為在y軸的負(fù)半軸上，∴c＜0，

∵對(duì)稱軸為x=>0 ,

∴a、b異號(hào)，即b＜0，

∴ac＜0，故①是正確的;

②2a+b=0，

∵對(duì)稱軸為x=1，

∴x= ,

∴-b=2a，

∴2a+b=0，故②是正確的;

③當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c＜0，此③是錯(cuò)誤的；

④對(duì)于任意x均有ax2+ax＞a+b，

當(dāng)x=-1，則a-a=0，

∵2a+b=0，

∴a+b＜0，

∴ax2+ax＞a+b，

當(dāng)x=0，則a+b＜0，

∴ax2+ax＞a+b，

當(dāng)x=1，則a+a=2a，

∵2a+b=0，

∴a+b＜0，

2a＞a+b，

∴ax2+ax＞a+b,故④是正確的;

⑤拋物線對(duì)稱軸x== , 則b=-2a,

如圖，當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，即a-b+c=3a+c=0，故⑤正確的；

⑥∵函數(shù)的圖象與y軸負(fù)半軸相交一點(diǎn),

∴c<0,

又∵由①可知:b<0,

∴b+2c<0,故⑥正確；

⑦如圖所示:當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x的增大而增大,故⑦是錯(cuò)誤的;

綜合上述可得:①②④⑤⑥共5個(gè)正確的;

故答案是5.

點(diǎn)睛: 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小:當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置:當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左邊； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右邊；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn):拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定:當(dāng)△=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).