【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AD的延長線與BC的延長線相交于點E,DC=DE.
(1)求證:∠A=∠AEB;
(2)如果DC⊥OE,求證:△ABE是等邊三角形.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠A=∠DCE,
∵DC=DE,
∴∠DCE=∠DEC,
∴∠A=∠AEB
(2)證明:∵DC⊥OE,
∴DF=CF,
∴OE是CD的垂直平分線,
∴ED=EC,又DE=DC,
∴△DEC為等邊三角形,
∴∠AEB=60°,又∠A=∠AEB,
∴△ABE是等邊三角形.
【解析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠DCE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCE=∠DEC,等量代換證明結(jié)論;(2)根據(jù)垂徑定理得到OE是CD的垂直平分線,根據(jù)題意證明△DEC為等邊三角形,證明結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識,掌握垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧,以及對圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的理解,了解把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點作圓的切線,以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,直角坐標系中有一矩形OABC,其中O是坐標原點,點A,C分別在x軸和y軸上,點B的坐標為(3,4),直線y= x交AB于點D,點P是直線y= x位于第一象限上的一點,連接PA,以PA為半徑作⊙P,
(1)連接AC,當點P落在AC上時,求PA的長;
(2)當⊙P經(jīng)過點O時,求證:△PAD是等腰三角形;
(3)設點P的橫坐標為m, ①在點P移動的過程中,當⊙P與矩形OABC某一邊的交點恰為該邊的中點時,求所有滿足要求的m值;
②如圖2,記⊙P與直線y= x的兩個交點分別為E,F(xiàn)(點E在點P左下方),當DE,DF滿足 < <3時,求m的取值范圍.(請直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,AB經(jīng)過圓心O,且與小圓相交于點A,與大圓相交于點B.小圓的切線AC與大圓相交于點D,且CO平分∠ACB.
(1)試判斷BC所在直線與小圓的位置關系,并說明理由;
(2)試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關系,并說明理由.
(3)若AB=8,BC=10,求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在學習了二次根式的相關運算后,我們發(fā)現(xiàn)一些含有根號的式子可以表示成另一個式子的平方,如:
3+2=2+2+1=()2+2+1=(+1)2;
5+2=2+2+3=()2+2××+()2=(+)2
(1)請仿照上面式子的變化過程,把下列各式化成另一個式子的平方的形式:
①4+2;②6+4
(2)若a+4=(m+n)2,且a,m,n都是正整數(shù),試求a的值.
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【題目】一般情況下,學生注意力上課后逐漸增強,中間有段時間處于較理想的穩(wěn)定狀態(tài),隨后開始分散.實驗結(jié)果表明,學生注意力指數(shù)y隨時間x(min)的變化規(guī)律如圖所示(其中AB、BC分別為線段,CD為雙曲線的一部分):
(1)上課后第5min與第30min相比較,何時學生注意力更集中?
(2)某道難題需連續(xù)講19min,為保證效果,學生注意力指數(shù)不宜低于36,老師能否在所需要求下講完這道題?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為半圓的直徑,點C是弧AD的中點,過點C作BD延長線的垂線交于點E.
(1)求證:CE是半圓的切線;
(2)若OB=5,BC=8,求CE的長.
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【題目】垃圾的分類處理與回收利用,可以減少污染,節(jié)省資源.某城市環(huán)保部門為了提高宣傳實效,抽樣調(diào)查了部分居民小區(qū)一段時間內(nèi)生活垃圾的分類情況,其相關信息如下:
根據(jù)圖表解答下列問題:
(1)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)在抽樣數(shù)據(jù)中,產(chǎn)生的有害垃圾共噸;
(3)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在可回收物中塑料類垃圾占 ,每回收1噸塑料類垃圾可獲得0.7噸二級原料.假設該城市每月產(chǎn)生的生活垃圾為5 000噸,且全部分類處理,那么每月回收的塑料類垃圾可以獲得多少噸二級原料?
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【題目】為貫徹政府報告中“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”的精神,某鎮(zhèn)對轄區(qū)內(nèi)所有的小微企業(yè)按年利潤w(萬元)的多少分為以下四個類型:A類(w<10),B類(10≤w<20),C類(20≤w<30),D類(w≥30),該鎮(zhèn)政府對轄區(qū)內(nèi)所有小微企業(yè)的相關信息進行統(tǒng)計后,繪制成以下條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請你結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)該鎮(zhèn)本次統(tǒng)計的小微企業(yè)總個數(shù)是 , 扇形統(tǒng)計圖中B類所對應扇形圓心角的度數(shù)為度,請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)為了進一步解決小微企業(yè)在發(fā)展中的問題,該鎮(zhèn)政府準備召開一次座談會,每個企業(yè)派一名代表參會.計劃從D類企業(yè)的4個參會代表中隨機抽取2個發(fā)言,D類企業(yè)的4個參會代表中有2個來自高新區(qū),另2個來自開發(fā)區(qū).請用列表或畫樹狀圖的方法求出所抽取的2個發(fā)言代表都來自高新區(qū)的概率.
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【題目】閱讀材料:
我們定義:如果一個數(shù)的平方等于﹣1,記作i2=﹣1,那么這個i就叫做虛數(shù)單位.虛數(shù)與我們學過的實數(shù)合在一起叫做復數(shù).一個復數(shù)可以表示為a+bi(a,b均為實數(shù))的形式,其中a叫做它的實部,b叫做它的虛部.
復數(shù)的加、減、乘的運算與我們學過的整式加、減、乘的運算類似.
例如 計算:(5+i)+(3﹣4i)=(5+3)+(i﹣4i)=8﹣3i.
根據(jù)上述材料,解決下列問題:
(1)填空:i3= ,i4= ;
(2)計算:(2+i)2;
(3)將化為a+bi(a,b均為實數(shù))的形式(即化為分母中不含i的形式).
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