【題目】綜合與實踐:折紙中的數(shù)學

問題背景

在數(shù)學活動課上,老師首先將平行四邊形紙片ABCD按如圖①所示方式折疊,使點C與點A重合,點D落到D′處,折痕為EF.這時同學們很快證得:△AEF是等腰三角形.接下來各學習小組也動手操作起來,請你解決他們提出的問題.

操作發(fā)現(xiàn)

(1) “爭先”小組將矩形紙片ABCD按上述方式折疊,如圖②,發(fā)現(xiàn)重疊部分△AEF恰好是等邊三角形,求矩形ABCD的長、寬之比是多少?

實踐探究

(2)“勵志”小組將矩形紙片ABCD沿EF折疊,如圖③,使B點落在AD邊上的B′處;沿BG折疊,使D點落在D′處,且BD′過F點.試探究四邊形EFGB′是什么特殊四邊形?

(3)再探究:在圖③中連接BB′,試判斷并證明△BBG的形狀.

【答案】(1)矩形ABCD的長、寬之比為;(2)四邊形EFGB′是平行四邊形,理由詳見解析;(3)△BBG為直角三角形,理由詳見解析.

【解析】

1)矩形的長、寬之比應是.設,根據(jù)等邊三角形的性質可得出,根據(jù)矩形的性質可得出,,再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出,,結合邊與邊之間的關系即可得出;

2)四邊形是平行四邊形.根據(jù)矩形的性質可得出,從而得出相等的內錯角,,再由翻折的性質可得出,由此即可得出,從而找出,由兩組對邊互相平行即可證出四邊形是平行四邊形;

3)△為直角三角形.連接于點,根據(jù)平行線的性質可得出,由翻折的性質可得出,從而可得出,再由等腰三角形的性質可得出,根據(jù)平行線的性質即可得出,由此即可證出△為直角三角形.

解:(1)矩形的長、寬之比應是

證明:設,

等邊三角形,

,

四邊形為矩形,

,

中,,,

,,

,

2)四邊形是平行四邊形.

證明:四邊形為矩形,

,

,

由翻折的特性可知:,,

,,

,

,

,

,

四邊形是平行四邊形.

3)△為直角三角形.

證明:連接于點,如圖所示.

,

,

為等腰三角形,

,

,

,

為直角三角形.

練習冊系列答案
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A.B.C.D.

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