Question

如圖，已知梯形ABCD，AB∥CD，∠B=90°，BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm．動點P從A點出發(fā)，沿AD方向勻速向D運動，速度為1cm∕s；動點Q從B出發(fā)，沿BA方向勻速向A運動，速度為2cm∕s；當(dāng)其中一個到達端點時，兩點同時停止運動．若兩點同時出發(fā)，運動時間為t（s）（t＞0），△CPQ的面積為y（cm²）．
（1）求點P到AB的距離；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）t為何值時，△APQ是以AQ為底的等腰三角形；
（3）求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）作DE⊥AB于點E，PF⊥AB于點F，利用APF∽△ADE，得到比例式

AP

AD

=

PF

DE

即可代入求得點P到線段AB的距離；
（2）當(dāng)△APQ是以AQ為底的等腰三角形時，AP=PQ，然后得到有關(guān)t的方程求解即可；
（3）根據(jù)y=S_梯形PFBC-S_△PFQ-S_△BCQ，得到有關(guān)y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答：解：（1）作DE⊥AB于點E，PF⊥AB于點F，
∵ABCD，AB∥CD，∠B=90°，
∴四邊形DEBC為矩形，
∵BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm，
∴DE=BC=6cm．AE=AB-EB=20-12=8cm，
∴AD=10cm，
∵動點P從A點出發(fā)，沿AD方向勻速向D運動，速度為1cm∕s；動點Q從B出發(fā)，沿BA方向勻速向A運動，速度為2cm∕s；
∴AP=tcm，
∵△APF∽△ADE，
∴

AP

AD

=

PF

DE

，
即：

t

10

=

PF

6

∴PF=

3

5

t
∴點P到AB的距離為

3

5

t；

（2）當(dāng)△APQ是以AQ為底的等腰三角形時，
AP=PQ，
此時，AF=FQ=

1

2

AQ=

1

2

（AB-BQ）=

1

2

（20-2t）=（10-t）cm，
在Rt△AFP中，AP²=AF²+PF²，
∴（10-t）²+（

3

5

t）²=t²，
解得：t=50（舍去）或t=

50

9

∴當(dāng)t=

50

9

時，△APQ是以AQ為底的等腰三角形；

（3）在Rt△APF中，
∵AP=t，PF=

3

5

t
∴AF=

4

5

t，
∴y=S_梯形PFBC-S_△PFQ-S_△BCQ
=

1

2

（PF+BC）•FB-

1

2

PF•FQ-

1

2

BC•BQ
=

1

2

[（

3

5

t+6）（20-

4

5

t）-

3

5

t（10-t）-6×2t]
=

9

25

t²-

12

5

t+60．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，重點考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用能力．