Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；
（2）直線AN交y軸于點F，P是拋物線的對稱軸x=1上動點，H是X軸上一動點，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的P、H，使四邊形CFHP的周長最短？若存在，請求出四邊形CFHP的最短周長和點P、H的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是∠MDB的角平分線上動點，點R是線段DB上的動點，Q、R在何位置時，BQ+QR的值最�。�請直接寫出BQ+QR的最小值和Q、R的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可，再利用圖象與坐標軸交點求法得出即可；
（2）利用軸對稱得出F的對稱點G，連接GN即可得出P點位置，利用軸對稱的性質得出CF+FH+PH+PC=CF+GN進而得出答案即可；
（3）首先求出BC=DC的長度，再利用軸對稱性質得出BQ+QR的最小值為3

2

，進而得出Q，R的坐標．

解答：解：（1）依題意設所求拋物線的解析式為：
y=k（x-1）²+4，
因為拋物線經過點N（2，3），
∴3=k（2-1）²+4，
解得：k=-1，
∴所求拋物線為y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
所以，A，B，C三點的坐標分別是：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）解：如圖1，連接AN交y軸于F點，
可求得直線AN的解析式為：y=x+1，
即點F的坐標為：F（0，1）
過點F作關于x軸的對稱點G，即G（0，-1）
連接CN，再連接NG交對稱軸于P，H，
∴CF+FH+PH+PC=CF+GN=2+2

5

即四邊形CFHP的最短周長為2+2

5

此時直線GN的解析式為：y=2x-1
所以存在點H的坐標為H(

1

2

，0)，點P的坐標為P（1，1）；

（3）如圖2，
作∠MDB的平分線DG，連接BC，交DG于點Q，點C關于DG的對稱點R落在x軸上，
此時QB+QR=BC，
由直線DM的解析式：y=x+3，
所以點D的坐標為：D（-3，0），
所以DB=6，∠BCD=90°，
所以BC=DC=6×

2

2

=3

2

，
所以，BQ+QR的最小值為3

2

，
由對稱關系可得：DR=DC=3

2

，
∴OR=3

2

-3，連接QR，
此時QR⊥DR，
∴QR=BR=6-3

2

，
所以，R，Q點的坐標為(3

2

-3，0)，(3

2

-3，6-3

2

)．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式和利用軸對稱求最小值問題等知識，利用數(shù)形結合得出R點位置是解題關鍵．