Question

如圖，已知直線y=2x-6與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并且x₁、x₂滿足：x₁²+x₂²+x₁x₂=13．
（1）求雙曲線y=

k

x

的表達(dá)式；
（2）設(shè)直線OA與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=

k

x

于
M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限），若由點(diǎn)A、M、C、N為頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為24，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先利用韋達(dá)定理求出k的值，進(jìn)一步寫(xiě)出表達(dá)式．
（2）通過(guò)圖形面積分兩種情況求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由

y=2x-6 y= k x

得：2x²-6x-k=0
∴

x1+x2=3  x1x2=- k 2

，
∵x₁²+x₂²+x₁x₂=13，∴（x₁+x₂）²-x₁x₂=13，即9+

k

2

=13，
解得：k=8，
所以雙曲線y=

k

x

的表達(dá)式為：y=

8

x

．

（2）由（1）可得2x²-6x-8=0，
解得：x₁=4，x₂=-1，
∴A（4，2），B（-1，-8），
由對(duì)稱性可知，
四邊形AMCN為平行四邊形，
∵四邊形AMCN的面積=24，△OAM的面積=6，
設(shè)點(diǎn)M（m，

8

m

）（m＞0且m≠4），
①當(dāng)0＜m＜4時(shí)，過(guò)A、M分別作x軸的垂線AD、ME，
則四邊形ODAM的面積=△ODA的面積+△OAM的面積=△OEM的面積+梯形MEDA的面積，
∵△ODA的面積=△OEM的面積=4，∴梯形MEDA的面積=△OAM的面積=6，

1

2

（2+

8

m

）（4-m）=6，
m²+6m-16=0，∴m=2或m=-8（舍去），
②當(dāng)m＞4時(shí)，同①可得：梯形MEDA的面積=6，

1

2

（2+

8

m

）（m-4）=6，
m²-6m-16=0，
m=8或m=-2（舍去），
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，4）（8，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是運(yùn)用韋達(dá)定理確定k的值，再通過(guò)圖形面積分兩種情況求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．