Question

如圖，拋物線經(jīng)過點A、B兩點，且當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，經(jīng)過點C的直線與x軸平行．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若D是直線上的一個動點，求使△DAB的周長最小時點D的坐標；
（3）以這條拋物線上的任意一點P為圓心，PO的長為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

⑴，⑵，⑶⊙P與直線相切，見解析解析:
（1）因為當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，
所以．……………………………………………………………1分
把x=-2，y=0；x=4，y=3，代入，得
，解得，
所以這條拋物線的解析式為．……………………………4分
（2）作點A關于直線的對稱點A′，
連接A′B交直線于點D，此時△DAB的周長最�。�……………………5分
設直線A′B的解析式為，
把x=-2，y=-4；x=4，y=3，代入，得
，解得，
所以直線A′B的解析式為，……………………………………7分
點D的坐標．…………………………………………………………8分
（3）⊙P與直線相切．…………………………………………………………9分
設拋物線上任意一點P的坐標為，則
PO=，
點P到直線的距離，…………………………11分
所以點P到直線的距離=⊙P的半徑PO，
所以⊙P與直線相切．…………………………………………………………12分
（1）用代入法解出拋物線的解析式；
（2）利用周長最小的性質(zhì)得拋物線的解析式；
（3）利用勾股定理解得。