Question

（2007•攀枝花）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B在x軸上，且B（t，0）（-1＜t＜0），等腰△ABC的頂點(diǎn)B在以AC為直徑的半圓D上，點(diǎn)E是直線OC與半圓D除點(diǎn)C以外的另一個(gè)交點(diǎn)，連接AE與BC相交于點(diǎn)F．又已知拋物線y=a（x²-2x）向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后點(diǎn)O恰與點(diǎn)A重合、點(diǎn)M恰與原點(diǎn)O重合，并把平移后所得拋物線記為H．
（1）求證：BF=BO；
（2）如果拋物線H還經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，試用含t的式子表示a；
（3）若AE經(jīng)過(guò)△AOC的內(nèi)心I，試求出此時(shí)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A、F、O的拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使該點(diǎn)關(guān)于直線AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上？若存在，請(qǐng)求出所有這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)觀察圖形，若證線段相等，可以證明它們所在的三角形全等，即證△OBC、△FBA全等即可；這兩個(gè)三角形中，∠FAB、∠BCO對(duì)應(yīng)的是同一段弧，所以這一對(duì)角相等，而∠CBO、∠ABF都是直角，且AB、BC是等腰三角形的腰，不難判斷這兩個(gè)三角形全等，則題目可證．
（2）由（1）的結(jié)論可以得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，而平移后的拋物線H可由“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律得出，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線H的解析式中求解即可．
（3）在（2）中，已經(jīng)求出了用t表示出來(lái)的拋物線H的解析式，所以此題的關(guān)鍵是求出t的值；點(diǎn)I是△AOC的內(nèi)心，所以直線AE是∠CAO的角平分線，即直線AC、AO關(guān)于直線AE對(duì)稱(chēng)，而AE⊥OC（圓周角定理），那么顯然△AOC是等腰三角形，且AO=AC；拋物線左移2個(gè)單位后，O、A以及M、O重合，所以O(shè)A=OM=2，由此不難看出AO=AC=2；而△ABC是等腰直角三角形，由此可以求出AB的長(zhǎng)，由OB=OA-AB即可得出t的值，由此得解．
（4）在（3）題中已經(jīng)明確了直線AC、AO關(guān)于直線AE對(duì)稱(chēng)，且AO正好位于x軸上，所以直線AC與拋物線的交點(diǎn)都符合點(diǎn)P的要求．

解答：（1）證明：∵AC為半圓的直徑，
∴∠ABC=∠CBO=90°，∠AEC=90°；
∵△ABC為等腰三角形，
∴BA=BC；
∵∠AEC=90°，點(diǎn)C、E、O在同一直線上，
∴∠AEO=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
在△ABF與△CBO中，
∵

∠ABC=∠CBO=90° BA=BC ∠1=∠2

，
∴△ABF≌△CBO，
∴BF=BO．

（2）解：∵點(diǎn)B（t，0），
∴BF=BO=-1，即點(diǎn)F的坐標(biāo)（t，-t）；
y=a（x²-2x）=a（x-1）²-a，即原拋物線的頂點(diǎn)為（1，-a）；
由題意知，拋物線H的解析式可記為y=a（x+1）²-a；
∵拋物線H過(guò)點(diǎn)F（t，-t），
∴-t=a（t+1）²-a，at²+2at+a-a=-t
即：a=

-t

t2+2t

=-

1

t+2

（-1＜t＜0）．

（3）解：∵O、M是拋物線y=a（x²-2x）與x軸的交點(diǎn)，
∴O（0，0）、M（2，0）；
由題意知：A（-2，0）、OA=2；
∵AE過(guò)△ACO的內(nèi)心I，
∴∠1=∠4；
∵∠AEC=∠AEO=90°，AE=AE
∴△ACE≌△AOE，
∴AC=AO，且AC與AO關(guān)于直線AE對(duì)稱(chēng)；
在Rt△ABC中，AC=2，∠ACB=45°，
∴AB=

2

，
∴BO=2-

2

，t=

2

-2；
此時(shí)拋物線H的解析式為y=-

2

2

（x²+2x），即：y=-

2

2

x²-

2

x．

（4）解：由（3）可知，直線AC與AO關(guān)于直線AE對(duì)稱(chēng)，所以只要直線AC與拋物線H有交點(diǎn)，那么就存在滿足題意的點(diǎn)P；
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，代入點(diǎn)A（-2，0）、C（

2

-2，

2

），得：

-2k+b=0 ( 2 -2)k+b= 2

，
解得

k=1 b=2

故直線AC：y=x+2；
聯(lián)立直線AC和拋物線的解析式，有：

y=x+2 y=- 2 2 x2- 2 x

，
解得

x1=-2 y1=0

，

x2=- 2 y2=2- 2

故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（-2，0）、P₂（-

2

，2-

2

），即在拋物線H上存在點(diǎn)P₁和P₂，其關(guān)于直線AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)和圓的綜合題，涉及了二次函數(shù)解析式的確定、圓周角定理、三角形的內(nèi)心、全等三角形的判定和性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)；后面三題環(huán)環(huán)相扣，緊扣圖形是解題的主要思路．