【題目】如圖,O是等邊△ABC內(nèi)一點,OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′,下列結(jié)論:
①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到;
②點O與O′的距離為4;
③四邊形AO BO′的面積為6+3
④∠AOB=150°;
⑤SAOC+SAOB=6+
其中正確的結(jié)論是( )

A.②③④⑤
B.①③④⑤
C.①②③⑤
D.①②④⑤

【答案】D
【解析】解:由題意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,
∴∠1=∠3,
又∵OB=O′B,AB=BC,
在△BO′A和△BOC中, ,
∴△BO′A≌△BOC(SAS),
又∵∠OBO′=60°,
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到,
故結(jié)論①正確;
如圖①,連接OO′,
∵OB=O′B,且∠OBO′=60°,
∴△OBO′是等邊三角形,
∴OO′=OB=4.
故結(jié)論②正確;
∵△BO′A≌△BOC,
∴O′A=OC=5.
在△AOO′中,三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù),
∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,
故結(jié)論④正確;
S四邊形AOBO=SAOO+SOBO= ×3×4+ ×42=6+4
故結(jié)論③錯誤;
如圖②所示,將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,使得AB與AC重合,點O旋轉(zhuǎn)至O″點.
∵△AOO″是邊長為3的等邊三角形,△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形,
則SAOC+SAOB=S四邊形AOCO=SCOO+SAOO= ×3×4+ ×32=6+ ,
故結(jié)論⑤正確.
綜上所述,正確的結(jié)論為:①②④⑤.
故選:D.


證明△BO′A≌△BOC,又∠OBO′=60°,所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到,故結(jié)論①正確;由△OBO′是等邊三角形,可知結(jié)論②正確;
在△AOO′中,三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù),故△AOO′是直角三角形;進而求得∠AOB=150°,故結(jié)論④正確;
S四邊形AOBO=SAOO+SOBO=6+4 ,故結(jié)論③錯誤;
如圖②,將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,使得AB與AC重合,點O旋轉(zhuǎn)至O″點.利用旋轉(zhuǎn)變換構造等邊三角形與直角三角形,將SAOC+SAOB轉(zhuǎn)化為SCOO+SAOO , 計算可得結(jié)論⑤正確.

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A.
B.
C.
D.

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