Question

【題目】圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l1，l2都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣6，0)，它們與y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)B，C，且∠BAO=∠ACO=30

(1)求直線(xiàn)l1，l2的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)P是第一象限內(nèi)直線(xiàn)l1上一點(diǎn)，連接PC，有S△ACP=24．M，N分別是直線(xiàn)l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，連接CM，MN，MP，求CM+MN+NP的最小值；

(3)如圖2，在(2)的條件下，將△ACP沿射線(xiàn)PA方向平移，記平移后的三角形為△A′C′P′，在平移過(guò)程中，若以A，C'，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)直線(xiàn)l2的解析式為，直線(xiàn)l1的解析式為；(2)；(3) （﹣9﹣3，3﹣）或（﹣3，5）或（3﹣3，7﹣）

【解析】

（1）求出B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．

（2）如圖1中，設(shè)點(diǎn)P（m，m+2），利用三角形的面積公式求出點(diǎn)P坐標(biāo)，如圖1﹣1中，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此時(shí)CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是線(xiàn)段P′C′的長(zhǎng)．

（3）由題意，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)y＝x+6，設(shè)C′（a，a+6）．分三種情形：①當(dāng)AC′＝AP＝8時(shí)．②當(dāng)C′A＝C′P時(shí)．③當(dāng)PA＝PC′＝8時(shí)，分別求解即可解決問(wèn)題．

解：（1）如圖1中，

∵A（﹣6，0），

∴OA＝6，

∵∠AOB＝90°，∠ACO＝∠BAO＝30°，

∴OC＝OA＝6，OB＝OA＝2，

∴C（0，6），B（O，2），

∴直線(xiàn)l2的解析式為y＝x+6，直線(xiàn)l1的解析式為y＝x+2．

（2）設(shè)點(diǎn)P（m， m+2），∵S△APC＝S△ABC+S△BCP，

∴BC（xP﹣xA）＝24，

∴×4×（m+6）＝24，

解得m＝6，

∴P（6，4），

如圖1﹣1中，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此時(shí)CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是線(xiàn)段P′C′的長(zhǎng)．

∵∠CAP＝∠PAO＝30°，

∴點(diǎn)C′在x軸上，AC′＝AC＝12，

∵∠CAP′＝∠PAC＝∠PAO＝30°，

∴∠P′AC′＝90°，PA＝P′A＝8，

∴P′C′＝＝＝4，

∴CM+MN+NP的最小值為4．

（3）如圖2中，

由題意，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)y＝x+6，設(shè)C′（a， a+6）．

①當(dāng)AC′＝AP＝8時(shí)，（a+6）2+（a+6）2＝（8）2，

解得a＝﹣9﹣3或﹣9+3（舍棄），

∴C′（﹣9﹣3，3﹣）．

②當(dāng)C′A＝C′P時(shí)，（a+6）2+（a+6）2＝（a﹣6）2+（a+6﹣4）2，

解得a＝﹣3，

∴C′（﹣3，5）．

③當(dāng)PA＝PC′＝8時(shí)，（a﹣6）2+（a+6﹣4）2＝（8）2，

解得a＝3﹣3或3+3（舍棄）

∴C′（3﹣3，7﹣）

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣9﹣3，3﹣）或（﹣3，5）或（3﹣3，7﹣）．

【點(diǎn)晴】

一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、軸對(duì)稱(chēng)變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．