【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線y=﹣x2+x+4經(jīng)過A、B兩點(diǎn).
(1)寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若一條與y軸重合的直線l以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移,分別交線段OA、CA和拋物線于點(diǎn)E、M和點(diǎn)P,連接PA、PB.設(shè)直線l移動(dòng)的時(shí)間為t(0<t<4)秒,求四邊形PBCA的面積S(面積單位)與t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并求出四邊形PBCA的最大面積;
(3)在(2)的條件下,是否存在t,使得△PAM是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)A(8,0)、B(0,4);(2)S=﹣8t2+32t+32,S最大值為64.(3)存在符合條件的點(diǎn)P,坐標(biāo)為(3,10).
【解析】試題分析:(1)拋物線的解析式中,令x=0,能確定點(diǎn)B的坐標(biāo);令y=0,能確定點(diǎn)A的坐標(biāo).(2)四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分;△ABC的面積是定值,關(guān)鍵是求出△PBA的面積表達(dá)式;若設(shè)直線l與直線AB的交點(diǎn)為Q,先用t表示出線段PQ的長(zhǎng),而△PAB的面積可由(PQOA)求得,在求出S、t的函數(shù)關(guān)系式后,由函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值.(3)△PAM中,∠APM是銳角,而PM∥y軸,∠AMP=∠ACO也不可能是直角,所以只有∠PAC是直角一種可能,即 直線AP、直線AC垂直,此時(shí)兩直線的斜率乘積為-1,先求出直線AC的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:
(1)拋物線y=﹣0.5x2+3.5x+4中:令x=0,y=4,則 B(0,4);
令y=0,0=﹣0.5x2+3.5x+4,解得 x1=﹣1、x2=8,則 A(8,0);∴A(8,0)、B(0,4).
(2)△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,則OB=OC=4,∴C(0,﹣4).
由A(8,0)、B(0,4),得:直線AB:y=﹣0.5x+4;
依題意,知:OE=2t,即 E(2t,0);
∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB=0.5×8×8+0.5×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴當(dāng)t=2時(shí),S有最大值,且最大值為64.
(3)∵PM∥y軸,∴∠AMP=∠ACO<90°;
而∠APM是銳角,所以△PAM若是直角三角形,只能是∠PAM=90°;
由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直線AC:y=0.5x﹣4;
所以,直線AP可設(shè)為:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:﹣16+h=0,h=16
∴直線AP:y=﹣2x+16,聯(lián)立拋物線的解析式,∴存在符合條件的點(diǎn)P,且坐標(biāo)為(3,10).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=x﹣ 與x軸正半軸、y軸負(fù)半軸分別相交于A、C兩點(diǎn),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B(﹣1,0)和點(diǎn)C.
(1)填空:直接寫出拋物線的解析式:_____;
(2)已知點(diǎn)Q是拋物線y=x2+bx+c在第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
①如圖,連接AQ、CQ,設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t,△AQC的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
②連接BQ交AC于點(diǎn)D,連接BC,以BD為直徑作⊙I,分別交BC、AB于點(diǎn)E、F,連接EF,求線段EF的最小值,并直接寫出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B兩站相距960公里,一列慢車從A站開出,每小時(shí)行駛120公里,一列快車從B站開出,每小時(shí)行駛200公里.慢車先行1小時(shí),快車再開,兩車相向而行,慢車多少小時(shí)后兩車相距200公里?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在不透明的袋子中裝有2個(gè)黑球和3個(gè)紅球,這些球只有顏色不同,隨機(jī)從袋子中摸出三個(gè)球,下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是紅球
B.摸出的三個(gè)球中至少有兩個(gè)球是黑球
C.摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是黑球
D.摸出的三個(gè)球中至少有兩個(gè)球是紅球
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解學(xué)生參加體育活動(dòng)的情況,學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,其中一個(gè)問題是“你平均每天參加體育活動(dòng)的時(shí)間是多少”,共有4個(gè)選項(xiàng):A 1.5小時(shí)以上;B 1~1.5小時(shí);C 0.5~1小時(shí);D 0.5小時(shí)以下.圖1、2是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答以下問題:
(1)本次一共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)在圖1中將選項(xiàng)B的部分補(bǔ)充完整;
(3)若該校有3000名學(xué)生,你估計(jì)全?赡苡卸嗌倜麑W(xué)生平均每天參加體育活動(dòng)的時(shí)間在0.5小時(shí)以下.
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