Question

將正方形ABCD放在如圖所示的直角坐標系中，A點的坐標為（4，0），N點的坐標為（3，0），MN平行于y軸，E是BC的中點，現(xiàn)將紙片折疊，使點C落在MN上，折痕為直線EF，
（1）求點G的坐標；
（2）求直線EF的解析式；
（3）設(shè)點P為直線EF上一點，是否存在這樣的點P，使以P、F、G的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）點G的橫坐標與點N的橫坐標相同，易得EM為BC的一半減去1，為1，EG=CE=2，利用勾股定理可得MG的長度，4減MG的長度即為點G的縱坐標；
（2）由△EMG的各邊長可得∠MEG的度數(shù)為60°，進而可求得∠CEF的度數(shù)，利用相應(yīng)的三角函數(shù)可求得CF長，4減去CF長即為點F的縱坐標，設(shè)出直線解析式，把E，F(xiàn)坐標代入即可求得相應(yīng)的解析式；
（3）以點F為圓心，F(xiàn)G為半徑畫弧，交直線EF于兩點；以點G為圓心，F(xiàn)G為半徑畫弧，交直線EF于一點；做FG的垂直平分線交直線EF于一點，根據(jù)線段的長度和與坐標軸的夾角可得相應(yīng)坐標．

解答：解：（1）易得EM=1，CE=2，
∵EG=CE=2，
∴MG=

3

，
∴GN=4-

3

；（1分）
G點的坐標為：（3，4-

3

）（3分）；

（2）易得∠MEG的度數(shù)為60°，
∵∠CEF=∠FEG，
∴∠CEF=60°，
∴CF=2

3

，
∴OF=4-2

3

，
∴點F（0，4-2

3

）．（6分）
設(shè)EF的解析式為y=kx+4-2

3

，
易得點E的坐標為（2，4），
把點E的坐標代入可得k=

3

，
∴EF的解析式為：y=

3

x+4-2

3

（8分）．

（3）P₁（1，4-

3

）、P₂（

3

，7-2

3

），
P₃（-

3

，2

3

-1）、P₄（3，4+

3

）（12分）．

點評：本題綜合考查了折疊問題和相應(yīng)的三角函數(shù)知識，難點是得到關(guān)鍵點的坐標；注意等腰三角形的兩邊相等有多種不同的情況．