Question

我們在小學(xué)學(xué)過：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，并且對邊互相平行．將正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別放在四條平行線l₁、l₂、l₃、l₄上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h₁、h₂、h₃（h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0），如圖．
（1）求證：h₁=h₃；
（2）設(shè)正方形ABCD的面積為S，小明寫出了等式：S=（h₃+h₂）²+h₁²，請你判斷是否正確，并說明理由；
（3）若

3

2

h₁+h₂=1，當(dāng)h₁變化時(shí)，正方形ABCD的面積S隨h₁的變化而變化．試求出S與h₁之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量h₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過A點(diǎn)作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點(diǎn)E、F，過C點(diǎn)作CH⊥l₂分別交l₂、l₃于點(diǎn)H、G，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，證△ABE≌△CDG即可；
（2）易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且兩直角邊長分別為h₁、h₁+h₂，四邊形EFGH是邊長為h₂的正方形，所以S=4×

1

2

h1（h1+h2）+h22=2h12+2h1h2+h22=（h1+h 2）2+h12．
（3）根據(jù)題意用h₂關(guān)于h₁的表達(dá)式代入S，即可求出h₁取何范圍．

解答：（1）證明：過A點(diǎn)作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點(diǎn)E、F，過C點(diǎn)作CH⊥l₂分別交l₂、l₃于點(diǎn)H、G，
∵四邊形ABCD是正方形，l₁∥l₂∥l₃∥l₄，
∴AB=CD，∠ABE+∠HBC=90°，
∵CH⊥l₂，
∴∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠BCH=∠ABE，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABE=∠CDG，
△AEB和△CGD中，

∠ABE=∠CDG ∠AEB=∠CGD AB=CD

∴△ABE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG，
即h₁=h₃，
（2）正確
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°，∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG，
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且兩直角邊長分別為h₁、h₁+h₂，
∴四邊形EFGH是邊長為h₂的正方形，
∴S=4×

1

2

h1（h1+h2）+h22=2h12+2h1h2+h22=（h1+h 2）2+h12，
（3）由題意，得
h2=1-

3

2

h1，
S=（h1+1-

3

2

h1）2+h12
=

5

4

h12-h1+1
=

5

4

（h1-

2

5

）2+

4

5

∵

h1＞0 1- 3 2 h1＞0

解得0＜h₁＜

2

3

，
∴當(dāng)0＜h₁＜

2

5

時(shí)，S隨h₁的增大而減��；
當(dāng)h₁=

2

5

時(shí)，S取得最小值

4

5

當(dāng)

2

5

＜h₁＜

2

3

時(shí)，S隨h₁的增大而增大．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵在于作好輔助線，根據(jù)已知找到全等三角形即可．