Question

已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20，其中一內(nèi)角的余弦值是

2

3

，求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)．

Answer 1

分析：分底角或頂角的余弦值是

2

3

來(lái)求解，①若底角的余弦值是

2

3

，易得AD與AB的關(guān)系，進(jìn)而解可得AB的值，②若頂角的余弦值是

2

3

，設(shè)AB=x，通過(guò)解三角形可得BC的長(zhǎng)，由周長(zhǎng)為20，可得2x+

6

3

x=20，解可得x即腰長(zhǎng)AB的值．

解答：解：如圖，等腰三角形ABC中，周長(zhǎng)為20，
①若底角的余弦值是

2

3

，則cosB=

2

3

，
做AD垂直于BC，交BC于點(diǎn)D；
易得AB+BD=

1

2

（AB+AC+BC）=10，且

AD

AB

=

2

3

解可得：腰長(zhǎng)AB=6，
②若頂角的余弦值是

2

3

，則cosA=

2

3

，
做BD垂直于AC，交AC于點(diǎn)D，
設(shè)AB=x，則AD=

2

3

x，由勾股定理可得BD=

5

3

x，
在Rt△BCD中，CD=x-

2

3

x=

1

3

x，BD=

5

3

x，
解可得：BC=

6

3

x；
又有AB+AC+BC=20，即2x+

6

3

x=20，
解可得x=12-2

6

．
答：腰長(zhǎng)為6或12-2

6

．

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)，注意分情況討論，通過(guò)輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)尋找思路．