Question

【題目】如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

（1）若是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)_______時(shí)，的周長最短；

（2）若是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)_______時(shí)，四邊形的周長最短；

（3）設(shè)分別為軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)， 使四邊形的周長最短？若存在，請求出，_________，________（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在使四邊形周長最短的點(diǎn)，．

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)出并找到點(diǎn)B(4，-1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(4，1)，進(jìn)而可得直線AB'的解析式，然后得出答案；

（2）過A點(diǎn)作AE⊥x軸于點(diǎn)E且延長AE，取A'E= AE作點(diǎn)F(1，-1)，連接A'F利用兩點(diǎn)，間線段最短，可知四邊形A BCD的周長最短等于A'F+CD + AB從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo)值；

（3）存在使四邊形ABMN的周長最短的點(diǎn)M，N，作A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，作B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是AF連接A'B'與x軸，y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，N，所以A'(-2，-3)， B'(4，1)，所以直線A'B'的解析式為： ，從而得到m，n．

(1)設(shè)點(diǎn)B(4，-1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(4，1)，

設(shè)直線AB'的解析式為y= kx+ b,

把A(2， -3)，B'(4，1)代入得：

，

解得: ，

所以y=2x- 7，

令y= 0得 ，

即；

（2）過A點(diǎn)作AE⊥x軸于點(diǎn)E且延長AE，取A'E= AE，作點(diǎn)F(1，-1)，

連接A'F，則A'(2，3)，

直線A'F的解析式為

即y=4x- 5，

∵C(a，0)，且點(diǎn)C在直線A'F上，

∴；

(3)存在使四邊形ABMN的周長最短的點(diǎn)M，N；

作A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，作B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B'，連接A'B'與x軸，y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，N，設(shè)直線A'B'的解析式為：；

∴A'(-2，-3)， B'(4，1)，

∴直線A'B'的解析式為： ，

從而得到 ，

∴m= ，n ．