【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過A-1,0),B3,0),C0,3)三點,直線是拋物線的對稱軸.

1)求拋物線的函數(shù)解析式及頂點D的坐標(biāo);

2設(shè)點P是直線上的一個動點,當(dāng)PAC的周長最小時,求點P的坐標(biāo);

3)在直線上是否存在點M,使MAC為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點M的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】1D(1,4);(2P (1,2);(3)存在,M的坐標(biāo)為(1,)(1)(1,1)(10)

【解析】(1)直接將A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可.

(2)由圖知:A、B點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知:若連接BC,那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點.

(3)由于△MAC的腰和底沒有明確,因此要分三種情況來討論:①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先設(shè)出M點的坐標(biāo),然后用M點縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長,再按上面的三種情況列式求解.

解:(1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),兩點

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),

又∵拋物線過點C(0,3), ∴3=-3a,∴a=-1,

∴y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3,

(2)連接BC,則直線BC與直線的交點即為使△PAC的周長最小的點P.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b, 將B(3,0),C(0,3)代入

, ∴,

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3,

∵對稱軸為直線x=1,

∴當(dāng)x=1時,y=2即點P的坐標(biāo)為(1,2) .

(3)由于△MAC的腰和底沒有明確,因此要分三種情況討論:

①MA=MC ②MA=AC ③AC=MC

∵拋物線的對稱軸為x=1,∴設(shè)M(1,m)

A(-1,0),C(03) MA2=m24 MC2=m26m+10 AC2=10

①若MA=MC MA2=MC2 m24= m26m+10 m=1,

②若MA=AC MA2=AC2 m24=10,∴m=±

③若MC=AC MC2=AC2 m26m+10=10,∴m=0m=6,

當(dāng)m=6時,M、A、C三點共線,構(gòu)不成在角形(舍去). 綜上可知:存在符合條件的點M,且坐標(biāo)為(1, )或(1, )或(1,1)或(1,0) .

“點睛”熟知上述性質(zhì)概念,本題綜合性很強,運用的知識點很多,要認(rèn)真審題才可解之,還需做輔助線求得,在二問中有兩個答案易漏求,求得方法也不唯一,三問中可求有五個點,有一個不合題意需舍去,難度較大,屬于難題.

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