Question

如圖，已知直線y=-x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）圓⊙P半徑r=，當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，恰有一條頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（2，2）的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過圓心P，若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右邊的交點(diǎn)為M，在x軸上方同時(shí)也在直線AB上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使四邊形ABMQ的面積最大？若存在，請求出這個(gè)最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線AB的解析式中，令x=0，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；令y=0，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）由于點(diǎn)P的位置不確定，那么需要考慮兩種情況：①點(diǎn)P在直線AB左側(cè)、②點(diǎn)P在直線AB右側(cè)；解題的方法大致相同，過圓心作直線AB的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)圓的半徑和直角三角形中的特殊角，即可確定圓心P的坐標(biāo)．
（3）首先利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，進(jìn)而用未知數(shù)表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；由圖可知：四邊形ABMQ的面積可由四邊形AOMQ和△ABO的面積差求得，由此得到關(guān)于四邊形ABMQ的面積和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)的性質(zhì)可判斷四邊形ABMQ是否存在最大面積．
解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=2．
所以A（0，2），B（2，0）．

（2）當(dāng)⊙P從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)⊙P與直線AB有兩種相切情況．
第一種情況：如圖，當(dāng)⊙P在直線AB的左側(cè)與直線AB相切時(shí)，過切點(diǎn)D₁作D₁P₁⊥x軸于P₁，
在Rt△D₁P₁B中，∠OBD₁=45°，D₁P₁=．
所以BP₁=2，恰好P₁與O點(diǎn)重合，坐標(biāo)為（0，0）． 
第二種情況：如圖，當(dāng)⊙P在直線AB的右側(cè)與直線AB相切時(shí)，過切點(diǎn)D₂作D₂P₂⊥x軸與P₂，
在Rt△D₂P₂B中，∠P₂BD₂=45°，D₂P₂=，
所以BP₂=2，OP₂=4，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．

（3）如圖（3）拋物線y=ax²+bx+c過原點(diǎn)O，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
可設(shè)y=a（x-2）²+2，當(dāng)x=0時(shí)y=0，
求得a=-，所以y=-x²+2x．
設(shè)在x軸上方的拋物線上存在點(diǎn)Q使四邊形ABMQ的面積最大，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，-m²+2m），連接OQ，由題意得
S_{四邊形ABMQ}=S_△AOQ+S_△OMQ-S_△AOB
=m×2+×4×（-m²+2m）-×2×2
=-m²+5m-2=-（m-）²+．
當(dāng)m=時(shí)，S_{四邊形ABMQ}的最大值為．
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)Q（，）在直線AB上方，所以，在x軸上方同時(shí)也在直線AB上方的拋物線上存在點(diǎn)Q使四邊形ABMQ的面積最大，S_{四邊形ABMQ}的最大值為．
點(diǎn)評：該題考查了函數(shù)解析式的確定、圓與直線的位置關(guān)系、圖形面積的解法等綜合知識．（2）題在解答時(shí)，P點(diǎn)的兩種位置是容易被忽視的地方．