Question

【題目】如圖，點E在線段CD上，EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA,點F在線段AB上運動，AD=4cm，BC=3cm，且AD∥BC.

（1）你認為AE和BE有什么位置關系？并驗證你的結論；

（2）當點F運動到離點A多少厘米時，△ADE和△AFE全等？為什么？

（3）在（2）的情況下，此時BF=BC嗎？證明你的結論并求出AB的長.

Answer 1

【答案】（1）AE⊥BE；（2）當點F運動到離點A為4cm（即AF=AD=4cm）時，△ADE≌△AFE；（3）BF=BC；AB=7cm

【解析】試題分析：(1)、首先根據(jù)角平分線的性質得出∠EAB+∠EBA=(∠DAB+∠ABC)，根據(jù)平行線的性質可以得出∠EAB+∠EBA=90°，從而得出答案；(2)、要使得△ADE和△AFE全等，則必須滿足AF=AD，則AF=AD=4cm；(3)、首先根據(jù)△AFE和△ADE全等得出∠D=∠AFE，然后根據(jù)平行線的性質以及平角的性質得出∠C=∠BFE，然后結合角平分線和公共邊得出三角形全等，然后得出BF=BC=3cm，從而求出AB的長度.

試題解析：(1)、AE⊥BE； ∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，∴∠2=∠DAB，∠3=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BE；

(2)、當點F運動到離點A為4cm（即AF=AD=4cm）時，△ADE≌△AFE；

∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△AFE與△ADE中有∠1=∠2，AE=AE，AF=AD，∴△AFE≌△ADE；

(3)、BF=BC；∵△AFE≌△ADE，∴∠D=∠5，∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠5+∠6=180°，∴∠C=∠6，

在△ECB與△EFB中有∠3=∠4 ∠C=∠6 BE=BE`

∴△ECB≌△EFB，∴BF=BC． ∵AF=AD=4cm，BF=BC=3cm，

∴AB=AF+BF=3+4=7（cm）．