Question

已知如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABC0為梯形，BC∥A0，四個頂點坐標分別為A（4，0），B（1，4），C（0，4），O（0，O）．一動點P從O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿OA的方向向A運動；同時，動點Q從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿A→B→C的方向向C運動．兩個動點若其中一個到達終點，另一個也隨之停止．設(shè)其運動時間為t秒．
（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，PB與AQ互相平分；
（3）連接PQ，設(shè)△PAQ的面積為S，探索S與t的函數(shù)關(guān)系式．求t為何值時，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

答案：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），代入A、B、C三點，得

解得：
∴．

（2）∵使得PB與AQ互相平分，
∴四邊形BQPA是平行四邊形，
∴BQ=PA，
∴2t-5=4-t，
解得：t=3．


（3）由已知得AB=5，CB=1．
①當時，點Q在線段AB上運動，
設(shè)P（x_P，0），Q（x_Q，y_Q），∠OAB=θ，sinθ=，
∴，
∵，
∴，
∴當t=2時，S_△PAQ有最大值為．
②當時，點Q在線段BC上運動，則
∴當時，S_△PAQ有最大值為3．
∴綜上所述，當t=2時，S_△PAQ有最大值為．
分析：（1）設(shè)出拋物線的解析式，運用待定系數(shù)法可以直接求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)PB與AQ互相平分可以得出四邊形BQPA是平行四邊形，得出QB=PA建立等量關(guān)系可以求出t值．
（3）是一道分段函數(shù)，分為Q點在AB上和在BC上根據(jù)三角形的面積公式表示出S于t的關(guān)系式就可以求出其答案．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積的運用．