Question

【題目】下面從認(rèn)知、延伸、應(yīng)用三個層面來研究一種幾何模型．

（認(rèn)知）

如圖1，已知點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，若求證：∽．

（延伸）

如圖2，已知點(diǎn)E、F是線段BC上兩點(diǎn)，AE與DF交于點(diǎn)H，若求證：∽．

（應(yīng)用）

如圖3，是等邊的外接圓，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接BD并延長交AC的延長線于點(diǎn)E；連接CD并延長交AB的延長線于點(diǎn)猜想BF、BC、CE三線段的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】【認(rèn)知】：詳見解析；【延伸】：詳見解析；【應(yīng)用】：，證明詳見解析.

【解析】

認(rèn)知：由∠AEC=∠A+∠B=∠AED+∠DEC，結(jié)合∠B=∠AED知∠A=∠DEC，再由∠B=∠C即可得證；延伸：由∠HFE+∠FHE=∠A+∠B，由∠B=∠AHD=∠FHE知∠A=∠HFE，再由∠B=∠C即可得證△ABE∽△FCD；應(yīng)用：由∠BDC+∠A=180°及∠A=60°知∠BDC=∠FDE=120°，由∠ABC=∠ACB=60°知∠FBC=∠ECB=∠FDE=120°，與“延伸”解答過程同理可證△FBC∽△BCE得，，從而得出答案．

解：【認(rèn)知】

證明：是的外角，

，

又，

，

，

，

又，

∽．

【延伸】

證明：是的外角，

，

是的外角，

，

，

，，

，

，

，

∽．

【應(yīng)用】

猜想：，

證明：四邊形ABDC是的內(nèi)接四邊形，

，

是等邊三角形，

，

，

是的外角，

，

，

，

，

，

，

，

又，

∽，

，

．