Question

知識背景：恩施來鳳有一處野生古楊梅群落，其野生楊梅是一種具特殊價值的綠色食品．在當?shù)厥袌龀鍪蹠r，基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝（上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍，如圖）
（1）實際運用：如果要求紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米．
①按方案1（如圖）做一個紙箱，需要矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是多少平方米？

②小明認為，如果從節(jié)省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優(yōu)，你認為呢？請說明理由．

（2）拓展思維：北方一家水果商打算在基地購進一批“野生楊梅”，但他感覺（1）中的紙箱體積太大，搬運吃力，要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設(shè)計為原來的一半，你認為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數(shù)圖象驗證．

Answer 1

分析：（1）①利用寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6，假設(shè)底面長為x，寬就為0.6x，再利用圖形得出QM=

1

2

+0.5+1+0.5+

1

2

=3，F(xiàn)H=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，進而求出即可；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積即可得出答案；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方得出即可．

解答：解：（1）①∵紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米，
∴假設(shè)底面長為x，寬就為0.6x，
∴體積為：0.6x•x•0.5=0.3，
解得：x=1，
∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，F(xiàn)T=JH=

1

2

CD=0.3，
WQ=MK=

1

2

AD=

1

2

，
∴QM=

1

2

+0.5+1+0.5+

1

2

=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，
∴矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是3×2.2=6.6（平方米）；
②
如圖，連接A₂C₂，B₂D₂相交于O₂，
設(shè)△D₂EF中EF邊上的高為h₁，△A₂NM中NM邊上的高為h₂，
由△D₂EF∽△D₂MQ得，

h1

h1+0.8

=

1

3

，
解得：h₁=0.4，
同理可得出：h ₂=

3

8

，
∴A₂C₂=

15

4

，B₂D₂=3，
又四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形，
故S_{菱形A2B2C2D2}=5.625（平方米），
∴從節(jié)省材料的角度考慮，
采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優(yōu)．

（2）水果商的要求不能辦到．
設(shè)底面的長與寬分別為 x、y，
則 x+y=0.8，xy=0.3，
即 y=0.8-x 和 y=

0.3

x

，
在 y=0.8-x 中，
當x=0.8，y=0，x=0，y=0.8，
在y=

0.3

x

中，
當x=1，y=0.3，
x=0.3，y=1，畫出其圖象如圖所示．
因為兩個函數(shù)圖象無交點，故水果商的要求無法辦到．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及正方形性質(zhì)與菱形性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出DW=KA=DT=JC=0.5，F(xiàn)T=JH=

1

2

CD=0.3，WQ=MK=

1

2

AD=

1

2

是解決問題的關(guān)鍵．