Question

（2013•海淀區(qū)一模）問題：如圖1，a、b、c、d是同一平面內(nèi)的一組等距平行線（相鄰平行線間的距離為1）．畫出一個(gè)正方形ABCD，使它的頂點(diǎn)A、B、C、D分別在直線a、b、d、c上，并計(jì)算它的邊長．

小明的思考過程：
他利用圖1中的等距平行線構(gòu)造了3×3的正方形網(wǎng)格，得到了輔助正方形EFGH，如圖2所示，再分別找到它的四條邊的三等分點(diǎn)A、B、C、D，就可以畫出一個(gè)滿足題目要求的正方形．
請回答：圖2中正方形ABCD的邊長為

5

．
請參考小明的方法，解決下列問題：
（1）請?jiān)趫D3的菱形網(wǎng)格（最小的菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°，邊長為1）中，畫出一個(gè)等邊△ABC，使它的頂點(diǎn)A、B、C落在格點(diǎn)上，且分別在直線a、b、c上；
（3）如圖4，l₁、l₂、l₃是同一平面內(nèi)的三條平行線，l₁、l₂之間的距離是

21

5

，l₂、l₃之間的距離是

21

10

，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在l₁、l₂、l₃上，直接寫出△ABC的邊長．

Answer 1

分析：（1）直接運(yùn)用勾股定理就可以求出AB的值；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以畫出符合條件的圖形；
（3）過點(diǎn)B作DE⊥l₃于E，交l₁于D，作CF⊥l1于點(diǎn)F，設(shè)AD=x，AF=y，根據(jù)勾股定理建立方程組求出其解即可．

解答：解：（1）由題意，得
AE=2，BE=1，在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB=

5

．
故答案為：

5

（2）根據(jù)條件畫出圖形為如圖3：
作垂BD⊥a與D，BF⊥c于F，CG⊥a于G，
∵∠DEB=∠BMF=∠GHC=60°，BE=1，BM=2，CH=3，
∴DE=0.5，MF=1，GH=1.5，
∴AD=2.5，F(xiàn)C=2，AG=0.5，
∴BD=

3

2

，BF=

3

，CG=

3 3

2

，
∴在Rt△BDG、Rt△BFC和Rt△AGC中，由勾股定理，得
AB=

3 4 + 25 4

=

7

，
BC=

3+4

=

7

，
AC=

1 4 + 27 4

=

7

，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形；
（3）如圖4，過點(diǎn)B作DE⊥l₃于E，交l₁于D，作CF⊥l1于點(diǎn)F，
∴∠BEC=∠AFC=90°．
∵l₁∥l₃，
∴∠BEC+∠ADE=180°，
∴∠ADB=90°．
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC．
設(shè)AD=x，AF=y，

x2+( 21 5 )2=AB2① y2+( 63 10 )2=AC2② (x+y)2+( 21 10 )2=BC2③

，
由②-①，得
y²-x²+

441

20

=0，
20y²-20x²+441=0，
40y²-40x²+882=0 ④．
由②-③，得
-25x²-50xy+882=0 ⑤
由④-⑤，得
8y²+10xy-3x²=0．
（4y-x）（2y+3x）=0，
∴x=4y或x=-

2

3

y．
∵x＞0，y＞0，
∴x=-

2

3

y（舍去），
∴x=4y．
∴20y²-20（4y）²+441=0，
∴y²=

147

100

，

147

100

+

3969

100

=AC²，
∴AC=

7

5

21

．
答：△ABC的邊長為

7

5

21

．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，列二元二次方程組解實(shí)際問題的運(yùn)用及二元二次方程組的解法的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用勾股定理建立方程是關(guān)鍵．