【題目】如圖,在中,,為的平分線,點(diǎn)在上,經(jīng)過點(diǎn),兩點(diǎn),與,分別交于點(diǎn),.
(1)求證:與相切;
(2)若,,求的半徑和的長.
【答案】(1)見解析;(2),.
【解析】
(1)連接OD,根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OAD=∠ODA,然后根據(jù)角平分線的定義可得∠CAD=∠OAD,從而證出∠CAD=∠ODA,根據(jù)平行線的判定定理可得OD∥AC,從而證出OD⊥BC,然后根據(jù)切線的判定定理即可證出結(jié)論;
(2)連接DF,根據(jù)勾股定理求出AD,然后根據(jù)相似三角形的判定定理證出△CAD∽△DAF,列出比例式即可求出AF,從而求出圓的半徑,然后利用平行證出△BOD∽△BAC,然后列出比例式即可求出BC.
(1)證明:連接OD
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∵為的平分線,
∴∠CAD=∠OAD
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠ODB=∠ACB=90°
∴OD⊥BC
∴與相切;
(2)連接DF
在Rt△ACD中,AD==
∵AF為直徑
∴∠ADF=90°
∴∠ACD=∠ADF
∵∠CAD=∠DAF
∴△CAD∽△DAF
∴
即
解得:AF=
∴的半徑==,
∵OD∥AC
∴△BOD∽△BAC
∴
即
解得:BC=8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖,已知拋物線y=ax2﹣3x+c與y軸交于點(diǎn)A(0,﹣4),與x軸交于點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)P是線段AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí),∠PAB=90°求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AB下方的拋物線向終點(diǎn)B移動(dòng),在移動(dòng)中,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,△PAB的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式,并求t為何值時(shí)S有最大值,最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線AD上,過P作PF⊥AE于F,設(shè)PA=x。
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F(xiàn),E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似,試求x的值;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC的邊AB,AC的外側(cè)分別作等邊△ABD和等邊△ACE,連接DC,BE.
(1)求證:DC=BE;
(2)若BD=3,BC=4, BD⊥BC于點(diǎn)B,請(qǐng)求出△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于的函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、,點(diǎn)坐標(biāo)為,則的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】陜西省相關(guān)文件規(guī)定,西安市實(shí)行居民階梯水價(jià)制度,對(duì)居民用水的基本水價(jià)實(shí)行三級(jí)價(jià)差,各階梯水價(jià)均為用戶終端水價(jià),具體如下:
第一階梯:年用水量及以下,終端水價(jià)為元/.
第二階梯:年用水量(含),終端水價(jià)為元/.
第三階梯:年用水量以上,終端水價(jià)為元/.
城區(qū)居民階梯水價(jià)計(jì)量結(jié)算周期以年為單位,年用水量累計(jì)達(dá)到各階梯水量上限后,超出部分執(zhí)行下一階梯水價(jià);年度周期之間水量不結(jié)轉(zhuǎn),不累計(jì).
設(shè)某戶居民2019年的年用水量為,應(yīng)繳水費(fèi)為(元).
(1)寫出該戶居民2019年的年用水量為含)的與之間的函數(shù)表達(dá)式.
(2)若該戶居民2019年的應(yīng)繳水費(fèi)為元,則該戶居民2019年的年用水量為多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D.
(I)如圖①,若BC是⊙O的直徑,BC=4,求BD的長;
(Ⅱ)如圖②,若∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,求證:DE=DB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明研究了這樣一道幾何題:如圖1,在中,把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.當(dāng)時(shí),請(qǐng)問邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么?以下是他的研究過程:
特例驗(yàn)證:(1)①如圖2,當(dāng)為等邊三角形時(shí),猜想與的數(shù)量關(guān)系為_______;②如圖3,當(dāng),時(shí),則長為________.
猜想論證:(2)在圖1中,當(dāng)為任意三角形時(shí),猜想與的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
拓展應(yīng)用:(3)如圖4,在四邊形,,,,,,在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn),使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系?若存在,請(qǐng)畫出點(diǎn)的位置(保留作圖痕跡,不需要說明)并直接寫出的邊上的中線的長度;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn),連接與關(guān)于所在直線對(duì)稱,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),連接并延長交所在直線于點(diǎn),連接.當(dāng)為直角三角形時(shí),的長為_________ .
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