Question

（2007•海淀區(qū)二模）已知：點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)（與A、B兩點(diǎn)不重合）．在同一平面內(nèi)，把線(xiàn)段AP、BP分別折成△CDP、△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D、P、F三點(diǎn)共線(xiàn)，如圖所示．
（1）若△CDP、△EFP均為等腰三角形，且DF=2，求AB的長(zhǎng)；
（2）若AB=12，tan∠C=

4

3

，且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似，求四邊形CDFE的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，設(shè)DP=x，PF=y，得出CD=DP=x，EF=PF=y，PC=

2

x，PE=

2

y，進(jìn)而得出x+y的值，求出AB即可；
（2）由于tan∠C=

4

3

，且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似，因此分兩種情況考慮，當(dāng)∠DCP=∠PEF時(shí)，當(dāng)∠DCP=∠EPF時(shí)，分別利用勾股定理求出m+n的值，即可得出四邊形CDFE的面積的最小值．

解答：解：（1）設(shè)DP=x，PF=y，
∵△CDP和△EFP都是等腰直角三角形，且∠CDP=∠EFP=90°，
∴CD=DP=x，EF=PF=y，PC=

2

x，PE=

2

y．
∴AB=AP+PB=CD+DP+PC+PF+EF+PE
=x+x+

2

x+y+y+

2

y
=（2+

2

）（x+y），
∵DF=2，
∴x+y=2．
∴AB=（2+

2

）×2=4+2

2

；

（2）連接CE．
由于tan∠C=

4

3

，且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似，因此分兩種情況考慮．
①當(dāng)∠DCP=∠PEF時(shí)，
設(shè)DP=4m，PF=4n，則CD=3m，EF=3n，
根據(jù)勾股定理，可得CP=5m，PE=5n．
∵AB=CD+PC+DP+PE+EF+PF=12（m+n）=12，
∴m+n=1，
∵S_{四邊形CDFE}=

1

2

（3m+3n）（4m+4n），
=6（m+n）²
=6，
當(dāng)∠DCP=∠EPF時(shí)，
設(shè)DP=4m，PF=3n，則CD=3m，EF=4n，
根據(jù)勾股定理，可得CP=5m，PE=5n．
∵AB=12（m+n）=12，
∴m+n=1．
∵m＞0，n＞0，
∴S_{四邊形CDFE}=

1

2

（3m+4n）（4m+3n）
=

1

2

(12m2+25mn+12n2)=

1

2

[12(m+n)2+mn]
=

1

2

（12+mn）
=6+

1

2

mn＞6，
綜上所述，四邊形CDFE的面積的最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似形的綜合應(yīng)用以及勾股定理應(yīng)用，根據(jù)以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似進(jìn)行分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．