【題目】二次函數(shù)的頂點(diǎn)M是直線=-和直線的交點(diǎn).

(1)若直線過(guò)點(diǎn)D(0,-3),求M點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)的解析式;

(2)試證明無(wú)論取任何值,二次函數(shù)的圖象與直線總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);

(3)在(1)的條件下,若二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)C,與的右交點(diǎn)為A,試在直線=-上求異于M的點(diǎn)P,使P在△CMA的外接圓上.

【答案】(1)M點(diǎn)坐標(biāo)為M(2,-1),二次函數(shù)的解析式為: -4+3;

(2)證明見解析;

(3)P(-,

【解析】(本小題滿分14分)

解:(1)把D(0,-3)坐標(biāo)代入直線中,

=-3,從而得直線-3.……………………………………………1分

由M為直線=-與直線-3的交點(diǎn),

,………………………………………………………………………2分

解得,∴得M點(diǎn)坐標(biāo)為M(2,-1).…………………………………3分

∵M為二次函數(shù)的頂點(diǎn),∴其對(duì)稱軸為=2,

由對(duì)稱軸公式: =-,得-=2,∴=-4;

=-1,得=-1,得=3.

∴二次函數(shù)的解析式為: -4+3;………………4分

[也可用頂點(diǎn)式求得解析式:由M(2,-1),

-1,展開得-4+3]

(2)∵M是直線=-的交點(diǎn),得

解得,∴得M點(diǎn)坐標(biāo)為M(-, ).…………………………1分

從而有-=-

解得; .…………………………………………………3分

,得+(-1)=0,……………………4分

該一元二次方程根的判別式

⊿=(-1)-4(

=(-1)-4()=1>0,…………………………5分

∴二次函數(shù)的圖象與直線總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);

(3)解法①:

由(1)知,二次函數(shù)的解析式為: -4+3,

當(dāng)=0時(shí), =3.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,3).……………………………1分

=0,即-4+3=0,解得=1, =3,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(3,0).………………………………………………………2分

由勾股定理,得AC=3.∵M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(2,-1),

過(guò)M點(diǎn)作軸的垂線,垂足的坐標(biāo)應(yīng)為(2,0),由勾股定理,

得AM=;過(guò)M點(diǎn)作軸的垂線,垂足的坐標(biāo)應(yīng)為(0,-1),

由勾股定理,得CM==2

∵AC+AM=20=CM,∴△CMA是直角三角形,……………………3分

CM為斜邊,∠CAM=90°.

直線=-與△CMA的外接圓的一個(gè)交點(diǎn)為M,另一個(gè)交點(diǎn)為P,

則∠CPM=90°.即△CPM為Rt△.………………………………………4分

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則P(,- ).過(guò)點(diǎn)P作軸垂線,

過(guò)點(diǎn)M作軸垂線,兩條垂線交于點(diǎn)E(如圖4),則E(,-1).

過(guò)P作PF⊥軸于點(diǎn)F,則F(0,- ).

在Rt△PEM中,PM=PE+EM

=(-+1)+(2--5+5.

在Rt△PCF中,PC=PF+CF+(3+

+3+9.在Rt△PCM中,PC+PM=CM,

+3+9+-5+5=20,

化簡(jiǎn)整理得5-4-12=0,解得=2, =-

當(dāng)=2時(shí), =-1,即為M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,縱坐標(biāo)為

∴P(-, ).……………………………………………………………………5分

解法②[運(yùn)用現(xiàn)行高中基本知識(shí)(解析幾何):線段中點(diǎn)公式及兩點(diǎn)間距離公式]:

設(shè)線段CM的中點(diǎn)(即△CMA內(nèi)接圓的圓心)為H,則由線段中點(diǎn)公式,可求出H的坐標(biāo)為H(1,1).∵點(diǎn)P在⊙H上,∴點(diǎn)P到圓心H的距離等于半徑.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(,- ),由兩點(diǎn)間的距離公式,得PH的長(zhǎng)度為:

,從而有: ,即

=5,化簡(jiǎn),整理,得化簡(jiǎn)整理得5-4-12=0,解得=2, =-.當(dāng)=2時(shí), =-1,即為M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,縱坐標(biāo)為

∴P(-, ).

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