Question

如圖，已知點(diǎn)（1，3）在函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，矩形ABCD 的邊BC在x軸上，E是對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象又經(jīng)過(guò)A、E兩點(diǎn)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求k的值；
（2）如果點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，且∠ABD=45°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)（1，3）代入反比例函數(shù)關(guān)系式，可得出k的值；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，可得EF=1，OF=3，由矩形的性質(zhì)可得AB=2EF=2，求出OB，可得出BF、CF，繼而得出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)．
（3）根據(jù)（2）的思路求出BC的長(zhǎng)度，由AB=BC建立方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）將點(diǎn)（1，3）代入y=

k

x

（k＞0），可得：3=

k

1

，
解得：k=3．
故k的值為3．

（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=

3

x

上，
∴EF=1，OF=3，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=2EF=2，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，
∴OB=

3

2

，
∴BF=CF=OF-OB=

3

2

，
∴OC=OF+CF=3+

3

2

=

9

2

，
即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

9

2

．

（3）∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=

3

x

上，
∴EF=

3

m

，OF=m，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=2EF=

6

m

，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為

6

m

，
∴OB=

m

2

，
∴BF=CF=OF-OB=m-

m

2

=

m

2

，
∴BC=m，
又∵∠ABD=45°，
∴AB=AD=BC，即

6

m

=m，
解得：m₁=

6

，m₂=-

6

（舍去）．
故m的值為

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的知識(shí)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及方程思想的綜合運(yùn)用．