Question

【題目】已知如圖 1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝AC，點 D 在 AB 上，DE⊥AB交 BC 于 E，點 F 是 AE 的中點

（1） 寫出線段 FD 與線段 FC 的關系并證明；

（2） 如圖 2，將△BDE 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），其它條件不變，線段 FD 與線段 FC 的關系是否變化，寫出你的結(jié)論并證明；

（3） 將△BDE 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果 BC＝4，BE＝2，直接寫出線段 BF 的范圍．

Answer 1

【答案】（1）結(jié)論：FD＝FC，DF⊥CF；（2）結(jié)論不變．（3）≤BF≤3．

【解析】

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)先找出相關角、邊的關系，利用等量代換得到結(jié)果.（2）旋轉(zhuǎn)前后，圖形的性質(zhì)是不變的，據(jù)此可以直接找到旋轉(zhuǎn)前后邊角的關系，從而證明結(jié)論（3）要使BF最長，只有點E落在AB上即可要使BF最短，只有點E落在AB的延長線即可.

（1）結(jié)論：FD＝FC，DF⊥CF．

理由：如圖1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，

∴DF＝AF＝EF＝CF，

∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，

∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°，

∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，

∴DF＝FC，DF⊥FC．

（2）結(jié)論不變．

理由：如圖2中，延長AC到M使得CM＝CA，延長ED到N，使得DN＝DE，連接BN、BM．EM、AN，延長ME交AN于H，交AB于O．

∵BC⊥AM，AC＝CM，

∴BA＝BM，同法BE＝BN，

∵∠ABM＝∠EBN＝90°，

∴∠NBA＝∠EBM，

∴△ABN≌△MBE，

∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，

∵AF＝FE，AC＝CM，

∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，

∴FD＝FC，

∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，

∴∠BAN+∠AOH＝90°，

∴∠AHO＝90°，

∴AN⊥MH，FD⊥FC．

（3）如圖3中，當點E落在AB上時，BF的長最大，最大值＝3

如圖4中，當點E落在AB的延長線上時，BF的值最小，最小值＝．

綜上所述，≤BF≤3．