Question

（2012•梁子湖區(qū)模擬）如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，B（4，2），一次函數(shù)y=kx-1的圖象平分它的面積，關(guān)于x的函數(shù)y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的值為（　　）

• A．0
• B．-

  1

  2

• C．-1
• D．0或-

  1

  2

  或-1

Answer 1

分析：由一次函數(shù)y=kx-1的圖象平分等腰梯形ABCD的面積，得到此一次函數(shù)過(guò)等腰梯形的對(duì)稱中心，找出此對(duì)稱中心的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式中求出k的值，將k的值代入關(guān)于x的函數(shù)解析式中，分兩種情況考慮：當(dāng)m=0時(shí)，此函數(shù)為一次函數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)此一次函數(shù)與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m不為0時(shí)，此函數(shù)關(guān)于x的二次函數(shù)，再分兩種情況：拋物線過(guò)原點(diǎn)；拋物線頂點(diǎn)在x軸上，保證拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)拋物線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中求出此時(shí)m的值；當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，可得出根的判別式等于0，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，綜上，得到所有滿足題意的m的值．

解答：解：過(guò)B作BM⊥x軸于M點(diǎn)，連接OB，CM，交于N點(diǎn)，如圖所示：

由B（4，2），得到N（2，1），
將x=2，y=1代入y=kx-1得：1=2k-1，
解得：k=1，
將k=1代入y=mx²-（3m+k）x+2m+k得：y=mx²-（3m+1）x+2m+1，
分兩種情況考慮：
當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)解析式為y=-x+1，經(jīng)檢驗(yàn)與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)m≠0時(shí)，此函數(shù)為二次函數(shù)，
（i）當(dāng)拋物線過(guò)原點(diǎn)，即2m+1=0，即m=-

1

2

時(shí)，拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
（ii）當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即b²-4ac=（3m+1）²-4m（2m+1）=（m+1）²=0，即m=-1時(shí)，
拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，
綜上，滿足題意的m的值為0或-

1

2

或-1．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，以及等腰梯形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．