Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，作交于，連接，當(dāng)的面積是面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若為拋物線上、兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作軸的平行線，交于，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段的值最大，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，線段取最大值．

【解析】

（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，求出系數(shù)的值，即可求得拋物線的解析式；

（2）△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得BE、AB的比例關(guān)系，由此可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）PQ的長(zhǎng)實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，用a表示出P、Q的縱坐標(biāo)，然后可得出PQ的長(zhǎng)與a的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ最大時(shí)a的值，也就能求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）將點(diǎn)，坐標(biāo)代入拋物線解析式得：

，

解得：，

拋物線的解析式為；

（2）如圖，，

，則．

，

∴，

，

∵、，

則，

∴．

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）∵拋物線的解析式為，

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，則，

設(shè)直線AC的解析式為：，分別代入、得：

，解得：，

∴直線的解析式為．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)是過點(diǎn)作軸的平行線與直線的交點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．則有：

，

即當(dāng)時(shí)，線段取最大值，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．