Question

（2013•廣州）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，則tanB=（　　）

• A．2

  3

• B．2

  2

• C．

  11

  4

• D．

  5 5

  4

Answer 1

分析：先判斷DA=DC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)，可得點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，繼而可得EF是△CAB的中位線，繼而得出EF、DF的長(zhǎng)度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可計(jì)算．

解答：解：

∵CA是∠BCD的平分線，
∴∠DCA=∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，
∵AB⊥AC，
∴DE⊥AC（等腰三角形三線合一的性質(zhì)），
∴點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，
∴AF=CF，
∴EF是△CAB的中位線，
∴EF=

1

2

AB=2，
∵

AF

FC

=

DF

EF

=1，
∴EF=DF=2，
在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=4

2

，
則AC=2AF=8

2

，
tanB=

AC

AB

=

8 2

4

=2

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的知識(shí)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，難度較大．