Question

已知：關(guān)于x的二次函數(shù)（a＞0），點(diǎn)A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)．

（1）y₁=y₂，請說明a必為奇數(shù)；

（2）設(shè)a=11，求使y₁≤y₂≤y₃成立的所有n的值；

（3）對于給定的正實(shí)數(shù)a，是否存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代數(shù)式表示）；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵點(diǎn)A（n，y₁）、B（n+1，y₂）都在二次函數(shù)（a＞0）的圖象上，

∴。

∵y₁=y₂，

∴，整理得：a=2n+1。

∵n為正整數(shù)，∴a必為奇數(shù)。

（2）當(dāng)a=11時(shí)，∵y₁＜y₂＜y₃，

∴。

化簡得：。解得：。

∵n為正整數(shù)，∴n=1、2、3、4。

（3）存在。

假設(shè)存在，則AB=AC，

如圖所示，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AD⊥BN于點(diǎn)D，CE⊥BN于點(diǎn)E，

∵x_A=n，x_B=n+1，x_C=n+2，∴AD=CE=1。

在Rt△ABD與Rt△CBE中，AB=BC，AD=CE，

∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）。

∴∠BAD=∠CBE，即BN為頂角的平分線。

由等腰三角形性質(zhì)可知，點(diǎn)A、C關(guān)于BN對稱。

∴BN為拋物線的對稱軸，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，

∴。∴。

∴存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，。

【解析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，利用y₁=y₂得到用n表示a的式子，即可得到答案；

（2）將a=11代入解析式后，由題意列出不等式組，求得此不等式組的正整數(shù)解。

（3）本問為存在型問題，如圖所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)，判定點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A、C關(guān)于對稱軸對稱，于是得到，從而可以求出。