【題目】如圖,已知點(diǎn)A從點(diǎn)(1,0)出發(fā),以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向正方向運(yùn)動(dòng),以O、A為頂點(diǎn)作菱形OABC,使點(diǎn)B、C在第一象限內(nèi),且∠AOC=60°,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3),設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)了t秒,求:
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示);
(2)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)t為何值時(shí),使得△OCP為等腰三角形?
【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為:((1+t),(1+t));(2)當(dāng)t=﹣1,t=2,t=3﹣1時(shí),均可使得△OCP為等腰三角形.
【解析】試題分析:(1)過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H,解直角三角形CHO,求出OH,CH的長(zhǎng),即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)因?yàn)榈妊切?/span>OCP的腰和底不確定所以要分三種情況分別討論:①當(dāng)以O為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí);②當(dāng)以C為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí);③當(dāng)以P為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí),求出t的值即可.
解:(1)過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H,
根據(jù)題意得:OA=1+t,
∵四邊形OABC是菱形,
∴OC=OA=1+t,
∵∠AOC=60°,
∴OH="OC"cos60°=OC=(1+t),CH="OC"sin60°=(1+t),
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為:((1+t),(1+t));
(2)①當(dāng)以O為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí),OC=OP,
∴1+t=3,
∴t=2;
②當(dāng)以C為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí),PC=OC,則CH=OP=,
即(1+t)=,
解得:t=﹣1;
③當(dāng)以P為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí),OP=PC,∠POC=30°,則Q(0,),
∴OC=3,
∴1+t=3,
∴t=3﹣1,
綜上可知,當(dāng)t=﹣1,t=2,t=3﹣1時(shí),均可使得△OCP為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小李對(duì)初三(1)班全體同學(xué)的業(yè)余興趣愛好(第一愛好)進(jìn)行了一次調(diào)查,她根據(jù)采集到的數(shù)據(jù),繪制了下面的圖1和圖2.
請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)初三(1)班共有學(xué)生________人;
(2)在圖1中,將“書畫”部分的圖形補(bǔ)充完整;
(3)在圖2中,“球類”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)________度;愛好“音樂”的人數(shù)占本班學(xué)生數(shù)的百分?jǐn)?shù)是________;愛好“書畫”的人數(shù)占本班學(xué)生數(shù)的百分?jǐn)?shù)是________;“其它”的人數(shù)占本班學(xué)生數(shù)的百分?jǐn)?shù)是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司需招聘一名員工,對(duì)應(yīng)聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個(gè)方面進(jìn)行量化考核.甲、乙、丙各項(xiàng)得分如下表:
筆 試 | 面 試 | 體 能 | |
甲 | 85 | 80 | 75 |
乙 | 80 | 90 | 73 |
丙 | 83 | 79 | 90 |
(1)根據(jù)三項(xiàng)得分的平均分,從高到低確定三名應(yīng)聘者的排名順序.
(2)該公司規(guī)定:筆試,面試、體能得分分別不得低于80分,80分,70分,并按60%,30%,10%的比例計(jì)入總分(不計(jì)其他因素條件),請(qǐng)你說明誰將被錄用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),作射線DE,與邊AB交于點(diǎn)E,射線DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,與直線AC交于點(diǎn)F.
(1)依題意將圖1補(bǔ)全;
(2)小華通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想:在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中,始終有DE=DF.小華把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:
想法1:由點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),通過構(gòu)造一邊的平行線,利用全等三角形,可證DE=DF;
想法2:利用等邊三角形的對(duì)稱性,作點(diǎn)E關(guān)于線段AD的對(duì)稱點(diǎn)P,由∠BAC與∠EDF互補(bǔ),可得∠AED與∠AFD互補(bǔ),由等角對(duì)等邊,可證DE=DF;
想法3:由等腰三角形三線合一,可得AD是∠BAC的角平分線,由角平分線定理,構(gòu)造點(diǎn)D到AB,AC的高,利用全等三角形,可證DE=DF….
請(qǐng)你參考上面的想法,幫助小華證明DE=DF(選一種方法即可);
(3)在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中,直接寫出BE,CF,AB之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,把矩形沿AC折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE與DC的交點(diǎn)為O,連接DE.
(1)求證:△ADE≌△CED;
(2)求證:DE∥AC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校計(jì)劃購買一批籃球和足球,已知購買2個(gè)籃球和1個(gè)足球共需320元,購買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共需540元.
(1)求每個(gè)籃球和每個(gè)足球的售價(jià);
(2)如果學(xué)校計(jì)劃購買這兩種球共50個(gè),總費(fèi)用不超過5500元,那么最多可購買多少個(gè)足球?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們用[a]表示不大于a的最大整數(shù),例如:[2.5]=2,[3]=3,[-2.5]=-3;用<a>表示大于a的最小整數(shù),例如:<2.5>=3,<3>=4,<-2.5>=-2.根據(jù)上述規(guī)定,解決下列問題:
(1)[-4.5]=______,<3.01>=____;
(2)若x為整數(shù),且[x]+<x>=2 017,求x的值;
(3)若x,y滿足方程組,求x,y的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了更好地保護(hù)環(huán)境,某區(qū)污水處理廠決定購買A,B兩種型號(hào)污水處理設(shè)備10臺(tái),其中每臺(tái)的價(jià)格、月處理污水量如下表.已知購買一臺(tái)A型設(shè)備比購買一臺(tái)B型設(shè)備多2萬元,購買2臺(tái)A型設(shè)備比購買3臺(tái)B型設(shè)備少6萬元.
(1)求a,b的值;
(2)某區(qū)污水處理廠決定購買污水處理設(shè)備的資金既不少于108萬元也不超過110萬元,問有幾種購買方案?每月最多能處理污水多少噸?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,頂點(diǎn)A,C分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,M是BC的中點(diǎn),P(0,m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)(C點(diǎn)除外),直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)△APD是以AP為腰的等腰三角形時(shí),求m的值.
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