如圖,已知拋物線與軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,與軸交于點C(0,3)。

(1)求拋物線的解析式;

(2)設拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形,若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;

(3)若點M是拋物線上一點,以B、C,D、M為頂點的四邊形是直角梯形,試求出點M的坐標。

解:(1)∵拋物線與軸交于點(0,3),

∴設拋物線解析式為。   

根據(jù)題意,得,解得。

∴拋物線的解析式為。 

(2)存在。          

  由,得D點坐標為(1,4),對稱軸為。

  ①若以CD為底邊,則PD=PC,

  設P點坐標為,根據(jù)勾股定理,得

  ,

  即。                  

  又點P在拋物線上,

  ∴,即。     

  解得。

  ∵,應舍去,∴。     

  。

  即點P的坐標為。     

  ②若以CD為一腰,因為點P在對稱軸右側的拋物線上,由拋物線對稱性知,

點P與點C關于直線對稱,此時P點坐標為(2,3)。

  ∴符合條件的點P坐標為或(2,3)。    

(3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根據(jù)勾股定理,得

        ,,。        

        ∴

        ∴∠BCD=90º,

        設對稱軸交軸于點E,過C做CM⊥DE,交拋物線于點M,垂足為F。

在Rt△DCF中,

∵CF=DF=1,∴∠CDF=45º,

        由拋物線的對稱性知,

        ∠CDM=2×45º=90º,點M坐標為(2,3)

        ∴DM∥BC。

        ∴四邊形BCDM為直角梯形。

        由∠BCD=90º及題意可知,

        以BC為一底時,頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;

        以CD為一底或以BD為一底,且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。

        綜上所述,符合條件的點M的坐標為(2,3)。

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(2)設直線軸于點.在線段的垂直平分線上是否存在點,使得點到直線的距離等于點到原點的距離?如果存在,求出點的坐標;如果不存在,請說明理由;
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科目:初中數(shù)學 來源:2011年陜西省西安音樂學院初一上學期期末考試數(shù)學卷 題型:解答題

如圖,已知拋物線與軸交于點,與y軸交于點

(1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標;

(2)設直線CD交軸于點E.在線段OB的垂直平分線上是否存在點P,使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由

 

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如圖,已知拋物線軸的兩個交點為A、B,與軸交于點C

(1)求A、B、C三點的坐標?

(2)用配方法求該二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標?

(3)若坐標平面內(nèi)的點M,使得以點M和三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形,求點M的坐標?(直接寫出M的坐標,不用說明)

 

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