Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，點D是BC上一動點，以BD為邊在BC的右側作等邊△BDE，F是DE的中點，連結AF，CF，則AF+CF的最小值是_____.

Answer 1

【答案】2．

【解析】

以BC為邊作等邊三角形BCG，連接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延長線于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DC=EG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FC=FG，于是得到在點D的運動過程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，當F點移動到AG上時，即A，F，G三點共線時，AF+FC的最小值=AG，根據(jù)勾股定理即可得到結論．

以BC為邊作等邊三角形BCG，連接FG，AG，
作GH⊥AC交AC的延長線于H，

∵△BDE和△BCG是等邊三角形，
∴DC=EG，
∴∠FDC=∠FEG=120°，
∵DF=EF，
∴△DFC≌△EFG（SAS），
∴FC=FG，
∴在點D的運動過程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，
∴當F點移動到AG上時，即A，F，G三點共線時，AF+FC的最小值=AG，
∵BC=CG=AB=2，AC=2，
在Rt△CGH中，∠GCH=30°，CG=2，
∴GH=1，CH=，
∴AG= ==2，
∴AF+CF的最小值是2．