Question

【題目】我們規(guī)定：平面內(nèi)點(diǎn)A到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最小距離d，點(diǎn)A到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最大值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最大距離D，定義點(diǎn)A到圖形G的距離跨度為R=D﹣d．
（1）①如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形G1為以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，直接寫出以下各點(diǎn)到圖形G1的距離跨度： A（1，0）的距離跨度；
B（﹣ ， ）的距離跨度；
C（﹣3，﹣2）的距離跨度；
②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想到圖形G1的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀是 ．
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形G2為以D（﹣1，0）為圓心，2為半徑的圓，直線y=k（x﹣1）上存在到G2的距離跨度為2的點(diǎn)，求k的取值范圍．
（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OP：y= x（x≥0），⊙E是以3為半徑的圓，且圓心E在x軸上運(yùn)動(dòng)，若射線OP上存在點(diǎn)到⊙E的距離跨度為2，直接寫出圓心E的橫坐標(biāo)xE的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】
（1）2；2；4；圓
（2）解：設(shè)直線y=k（x+1）上存在到G2的距離跨度為2的點(diǎn)P（m，k（m+1）），

∴OP= ，

由（1）②知，圓內(nèi)一點(diǎn)到圖形圓的跨度是此點(diǎn)到圓心距離的2倍，圓外一點(diǎn)到圖形圓的跨度是此圓的直徑，

∵圖形G2為以C（1，0）為圓心，2為半徑的圓，到G2的距離跨度為2的點(diǎn)，

∴距離跨度小于圖形G2的圓的直徑4，

∴點(diǎn)P在圖形G2⊙C內(nèi)部，

∴R=2OP=2 ，

∵直線y=k（x+1）上存在到G2的距離跨度為2的點(diǎn)P，

∴2 =2，

∴（k2+1）m2+2（k2﹣1）m+k2=0①，

∵存在點(diǎn)P，

∴方程①有實(shí)數(shù)根，

∴△=4（k2﹣1）2﹣4×（k2+1）k2=﹣12k2+4≥0，

∴﹣ ≤k≤ ．

（3）﹣1≤xE≤2
【解析】解：（1）①∵圖形G1為以O(shè)為圓心，2為半徑的圓， ∴直徑為4，
∵A（1，0），OA=1，
∴點(diǎn)A到⊙O的最小距離d=1，
點(diǎn)A到⊙O的最大距離D=3，
∴點(diǎn)A到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=3﹣1=2；
∵B（﹣ ， ），
∴OB= =1，
∴點(diǎn)B到⊙O的最小距離d=BG=OG﹣OB=1，
點(diǎn)B到⊙O的最大距離D=BF=FO+OB=2+1=3，
∴點(diǎn)B到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=3﹣1=2；
∵C（﹣3，﹣2），
∴OC= = ，
∴點(diǎn)C到⊙O的最小距離d=CD=OC﹣OD= ﹣2，
點(diǎn)C到⊙O的最大距離D=CE=OC+OE=2+ ，
∴點(diǎn)C到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=2+ ﹣（ ﹣2）=4；
所以答案是2，2，4．②a、設(shè)⊙O內(nèi)一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
∴OP= ，
∴點(diǎn)P到⊙O的最小距離d=2﹣OP，點(diǎn)P到⊙O的最大距離D=2+OP，
∴點(diǎn)P到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=2+OP﹣（2﹣OP）=2OP；
∵圖形G1的距離跨度為2，
∴2OP=2，
∴OP=1，
∴ =1，
∴x2+y2=1，
即：到圖形G1的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀是以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓．
b、設(shè)⊙O外一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），
∴OQ= ，
∴點(diǎn)Q到⊙O的最小距離d=OQ﹣2，點(diǎn)P到⊙O的最大距離D=OQ+2，
∴點(diǎn)P到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=OQ+2﹣（OQ﹣2）=4；
∵圖形G1的距離跨度為2，
∴此種情況不存在，
所以，到圖形G1的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀是以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓．
所以答案是：圓；（3）如圖，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．

由題意：⊙E是以3為半徑的圓，且圓心E在x軸上運(yùn)動(dòng)，若射線OP上存在點(diǎn)到⊙E的距離跨度為2，此時(shí)以E為圓心1為半徑的圓與射線OP相切，當(dāng)以E為圓心1為半徑的圓與射線OP有交點(diǎn)時(shí)，滿足條件，
∴CD=2，CH=4，CE=1，
∵射線OP的解析式為y= ，
∴∠COE=30°，OE=2CE=2，
當(dāng)E′（﹣1，0）時(shí)，點(diǎn)O到⊙E的距離跨度為2，
觀察圖象可知，滿足條件的圓心E的橫坐標(biāo)xE的取值范圍：﹣1≤xE≤2．
所以答案是：﹣1≤xE≤2．