Question

如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數(shù)的圖象與y軸的交點，點B在二次函數(shù)的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形．

（1）試求b，c的值，并寫出該二次函數(shù)表達式；
（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：
①當P運動到何處時，有PQ⊥AC？
②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最��？此時四邊形PDCQ的面積是多少？

Answer 1

（1）（2）當點P運動到距離點A個單位處時，四邊形PDCQ面積最小，最小值為

解：（1）由，令x=0，得y=3，所以點A（0，3）；令y=0，得x=4，所以點C（4，0）。
∵△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，∴B點坐標為（－4，0）。
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴D點坐標為（8，3）。
將點B（﹣4，0）、點D（8，3）代入二次函數(shù)，可得
，解得：。
∴該二次函數(shù)解析式為：。
（2）①設(shè)點P運動了t秒時，PQ⊥AC，此時AP=t，CQ=t，AQ=5－t，
∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO。∴，即。
解得：，即當點P運動到距離A點個單位長度處，有PQ⊥AC。

②∵，且，
∴當△APQ的面積最大時，四邊形PDCQ的面積最小。
當動點P運動t秒時，AP=t，CQ=t，AQ=5－t，
設(shè)△APQ底邊AP上的高為h，作QH⊥AD于點H，
由△AQH∽CAO可得：，解得：。
∴。
∴當t=時，S_△APQ達到最大值，
此時。
∴當點P運動到距離點A個單位處時，四邊形PDCQ面積最小，最小值為。
（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A．點C坐標，再由△ABC是等腰三角形可求出點B坐標，根據(jù)平行四邊形的性性質(zhì)求出點D坐標，利用待定系數(shù)法可求出b、c的值，從而得出二次函數(shù)表達式．
（2）①設(shè)點P運動了t秒時，PQ⊥AC，此時AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用對應(yīng)邊成比例可求出t的值，從而確定點P的位置。
②只需使△APQ的面積最大，就能滿足四邊形PDCQ的面積最小，設(shè)△APQ底邊AP上的高為h，作QH⊥AD于點H，由△AQH∽△CAO，利用對應(yīng)邊成比例得出h的表達式，從而表示出△APQ的面積表達式，利用配方法求出最大值，即可得出四邊形PDCQ的最小值，也可確定點P的位置。