Question

如圖，已知點(diǎn)M，N，P，Q分別是凸四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，在下列4個(gè)命題中：
①四邊形MNPQ是梯形；
②當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線相等時(shí)，四邊形MNPQ是菱形；
③當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線垂直時(shí)，四邊形MNPQ是矩形；
④當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線相等且垂直時(shí)，四邊形MNPQ是正方形．
正確的有（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：連接AC、BD，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MN∥AC，MN=AC，PQ∥AC，PQ=AC，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形MNPQ是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線的情況對(duì)②③④小題進(jìn)行判定即可得解．
解答：解：如圖，連接AC、BD，
∵點(diǎn)M，N，P，Q分別是凸四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，MN=AC，PQ∥AC，PQ=AC，
∴MN∥PQ，MN=PQ，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形，故①小題錯(cuò)誤；
當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線相等時(shí)，同理可得NP=MQ=BD，
所以，MN=NP=PQ=MQ，
所以，四邊形MNPQ是菱形，故②小題正確；
當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線垂直時(shí)，可以證明∠M=90°，
所以，四邊形MNPQ是矩形，故③小題正確；
當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線相等且垂直時(shí)，四邊形MNPQ既是菱形也是矩形，所以是正方形，故④小題正確，
綜上所述，正確的是②③④共3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定，矩形的判定以及正方形的判定，連接對(duì)角線，利用三角形的中位線定理得到四邊形MNPQ的邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．