Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F在邊AD上，AF=DE，連接BF、CE．

（1）求證：∠CBF=∠BCE；

（2）若點(diǎn)G、M、N在線段BF、BC、CE上，且 FG=MN=CN．求證：MG=NF；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠MNC=2∠BMG時(shí)，四邊形FGMN是什么圖形，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形FGMN是矩形，見解析

【解析】

（1）由“SAS”可證△ABF≌△DCE，可得∠ABF＝∠DCE，可得結(jié)論；

（2）通過(guò)證明四邊形FGMN是平行四邊形，可得MG＝NF；

（3）過(guò)點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)可證∠BMG＝∠MNH，可證∠GMN＝90°，即可得四邊形FGMN是矩形．

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，且AF＝DE

∴△ABF≌△DCE（SAS）

∴∠ABF＝∠DCE，且∠ABC＝∠DCB＝90°

∴∠FBC＝∠ECB

（2）∵FG＝MN＝CN

∴∠NMC＝∠NCM

∴∠NMC＝∠FBC

∴MN∥BF，且FG＝MN

∴四邊形FGMN是平行四邊形

∴MG＝NF

（3）四邊形FGMN是矩形

理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H，

∵MN＝NC，NH⊥MC

∴∠MNH＝∠CNH＝∠MNC，NH⊥MC

∴∠MNH+∠NMH＝90°

∵∠MNC＝2∠BMG，∠MNH＝∠CNH＝∠MNC

∴∠BMG＝∠MNH，

∴∠BMG+∠NMH＝90°

∴∠GMN＝90°

∴四邊形FGMN是矩形