Question

【題目】我們把有一組對(duì)角為直角的四邊形叫直方形．設(shè)這兩個(gè)直角的夾邊長(zhǎng)分別為a，b和c，d，記叫直方形的方周長(zhǎng)，如圖1．

（1）判斷與的大小；

（2）如圖2，已知點(diǎn)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸交x軸正半軸于點(diǎn)A，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作，點(diǎn)B為上不同于點(diǎn)A的點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)P，A，O，B為頂點(diǎn)的直方形的方周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求直方形PAOB的面積；

（3）已知直線：與x軸、y軸相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，以點(diǎn)P，A，O，B為頂點(diǎn)的直方形的方周長(zhǎng)，當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）連接，根據(jù)∠B=∠D=90°，利用勾股定理解決問(wèn)題即可；

（2）由四邊形為直方形，可得為的切線，進(jìn)而得到，得出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；

（3）由直線l：與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，推出A（1-a，0），B（0，a），可得L2=2[（1-a）2+a2]=50，解得a=-3或4．再分兩種情形分別求解即可；

（1）如圖，連接，

在與中，

∵∠B=∠D=90°，

∴AC2=AB2+BC2=AD2+CD2，

由勾股定理可知，．

（2）四邊形為直方形，且，

，則為的切線，

，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且點(diǎn)在雙曲線上．

．

．

當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)

直方形為正方形，．

（3）直線與軸、軸相交于點(diǎn)，

，．

．

解得：，．

①當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)：

（1）當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立得：，有兩個(gè)不同的解．

，

．

當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不同的解．

由上可知，當(dāng)或時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)：

②當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)：

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立得：，有兩個(gè)不同的解．

，

．

當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不同的解．

由上可知，當(dāng)或時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．