Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D．

（1）AD與BD相等嗎？為什么？

（2）若AB=10，AC=6，求CD的長(zhǎng)；

（3）若P為⊙O上異于A、B、C、D的點(diǎn)，試探究PA、PD、PB之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）AD=BD，理由見解析；

（2）CD=；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)， PA+PB=PD；②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)， PA﹣PB=PD．③當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)， PB﹣PA=PD．

【解析】試題分析：（1）結(jié)論：AD=BD．只要證明即可．

（2）如圖2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延長(zhǎng)線上，作DG⊥CB于點(diǎn)G，連接DA，DB．由Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），推出AF=BG，由Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），推出CF=CG，由△CDF是等腰直角三角形，得CD=CF，求出CF即可解決問題．

（3）分三種情形討論①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，結(jié)論：PA+PB=PD；②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，結(jié)論：PA-PB=PD；③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，結(jié)論：PB-PA=PD．

試題解析：（1）結(jié)論：AD=BD．

理由：如圖1中，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD

∴DF=DG，

，

∴DA=DB．

（2）如圖2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延長(zhǎng)線上，作DG⊥CB于點(diǎn)G，連接DA，DB．

∵∠AFD=∠BGD=90°，

在Rt△ADF和Rt△BDG中， ，

∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），

∴AF=BG．

同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），

∴CF=CG．

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AC=6，AB=10，

∴BC==8，

∴6+AF=8﹣AF，

∴AF=1，

∴CF=7，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=45°，

∵△CDF是等腰直角三角形，

∴CD=，CF=7．

（3）①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，結(jié)論：PA+PB=PD．

理由：將△PDB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAD，

∵∠PAB+∠PBD=180°，∠FAD=∠PBD，

∴∠FAD+∠PAD=180°，

∴P、A、F共線，

∵∠F=∠DPB=∠BAD=45°，

∴△PDF是等腰直角三角形，

∴PF=PD，

∵PB=AF，

∴PF=PA+AF=PA+PB=PD．，

∴PA+PB=PD．

②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，結(jié)論：PA﹣PB=PD．

理由：在AP上取一點(diǎn)F，使得AF=PB，

在△FAD和△PBD中， ，

∴△FAD≌△PBD，

∴DF=DP，∠ADF=∠BDP，

∠FDP=∠ADB=90°，

∴△FDP是等腰直角三角形，

∴PF=PD，

∴PA﹣PB=PA﹣AF=PF=PD，

∴PA﹣PB=PD．

③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，結(jié)論：PB﹣PA=PD．（證明方法類似②）．