【題目】如圖,△ACB和△DCE均為等腰三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.
(1)如圖1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求證:AD=BE;
②求∠AEB的度數(shù).
(2)如圖2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM為△DCE中DE邊上的高,BN為△ABE中AE邊上的高,試證明:AE=CM+BN.
【答案】(1)①證明見解析;②80°;(2)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)①通過角的計算找出∠ACD=∠BCE,再結合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC,DC=EC”,利用全等三角形的判定(SAS)即可證出△ACD≌△BCE,由此即可得出結論AD=BE;
②結合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC,再通過角的計算即可算出∠AEB的度數(shù);
(2)根據(jù)等腰三角形的性質結合頂角的度數(shù),即可得出底角的度數(shù),利用(1)的結論,通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長度,二者相加即可證出結論.
試題解析:(1)①證明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.
∵△ACB和△DCE均為等腰三角形,∴AC=BC,DC=EC.
在△ACD和△BCE中,∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.
②解:∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.
∵點A,D,E在同一直線上,且∠CDE=50°,∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°,∴∠BEC=130°.
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°.
(2)證明:∵△ACB和△DCE均為等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,∴∠CDM=∠CEM=×(180°﹣120°)=30°.
∵CM⊥DE,∴∠CMD=90°,DM=EM.
在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°,∴DE=2DM=2×=CM.
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°,∴∠BEN=180°﹣120°=60°.
在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°,∴BE==BN.
∵AD=BE,AE=AD+DE,∴AE=BE+DE=CM+BN.
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【題目】如圖,在同一平面內,將△ABC繞點A旋轉到△AED的位置,若AE⊥BC,∠ADC=65°,則∠ABC的度數(shù)為( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
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【題目】某廠商投產一種新型電子產品,每件制造成本為18元,試銷過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的關系可以近似地看作一次函數(shù)y=-2x+100.(利潤=售價-制造成本)
(1)寫出每月的利潤z(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式;
(2)當銷售單價為多少元時,廠商每月能獲得350萬元的利潤?當銷售單價為多少元時,廠商每月能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)根據(jù)相關部門規(guī)定,這種電子產品的銷售單價不能高于32元,如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤,那么制造出這種產品每月的最低制造成本需要多少萬元?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A、B的坐標分別為(3,2)、(﹣1,0),若將線段BA繞點B順時針旋轉90°得到線段BA′,則點A′的坐標為 .
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【題目】某校九年級所有學生參加2011年初中畢業(yè)英語口語、聽力自動化考試,我們從中隨機抽取了部分學生的考試成績,將他們的成績進行統(tǒng)計后分為A、B、C、D四等,并將統(tǒng)計結果繪制成如下的統(tǒng)計圖,請你結合圖中所給信息解答下列問題:
(說明:A級:25分~30分;B級:20分~24分;C級:15分~19分;D級:15分以下)
(1)請把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)扇形統(tǒng)計圖中D級所占的百分比是;
(3)扇形統(tǒng)計圖中A級所在的扇形的圓心角度數(shù)是;
(4)若該校九年級有850名學生,請你估計全年級A級和B級的學生人數(shù)共約為人.
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【題目】已知:如圖,點P,點Q分別代表兩個小區(qū),直線l代表兩個小區(qū)中間的一條公路.根據(jù)居民出行的需要,計劃在公路l上的某處設置一個公交站點.
①若考慮到小區(qū)P居住的老年人較多,計劃建一個離小區(qū)P最近的車站,請在公路l上畫出車站的位置(用點M表示);
②若考慮到修路的費用問題,希望車站的位置到小區(qū)P和小區(qū)Q的距離之和最小,請在公路l上畫出車站的位置(用點N表示).
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