如圖，A是以EF為直徑的半圓上的一點，作AG⊥EF交EF于G，又B為AG上一點，EB的延長線交半圓于K，
求證：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE2=EB•EK．

【答案】分析：（1）要證明兩個三角形相似，已經(jīng)有一個公共角，只需根據(jù)等角的余角相等得到∠BAE=∠F，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠F=∠K，即可證明兩個三角形相似；
（2）根據(jù)（1）中的相似三角形就可證明．
解答：證明：（1）連接AK、AF，
∴∠K=∠F=90°-∠AEF=90°-∠AEG．
∠EAG=90°-∠AEG．
∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．
∴△AEB∽△KEA．

（2）由①得△AEB∽△KEA，
∴．
∴AE2=EB•EK．
點評：本題要求能夠熟練運用圓周角定理的推論．掌握相似三角形的性質(zhì)和判定．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，某隧道的截面是由一拋物線和一矩形構(gòu)成，其行車道CD總寬度為8米，隧道為單行線2車道．
（1）以矩形一邊EF所在直線為x軸，經(jīng)過隧道頂端最高點H且垂直于EF的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出此拋物線的解析式；
（2）在隧道拱的兩側(cè)距地面3米高處各安裝一盞路燈，在（1）的平面直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示其中一盞路燈的位置；
（3）為了保證行車安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道拱在豎直方向上高度之差至少有0.5米．現(xiàn)有一輛汽車，裝載貨物后，其寬度為4米，車載貨物的頂部與路面的距離為2.5米，該車能否通過這個隧道？請說明理由．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A、B在第一象限內(nèi)．
（1）求點E的坐標(biāo)；
（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連接PN．設(shè)PE=x．△PMN的面積為S．
①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由．若存在，求出面積的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）．設(shè)運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′；探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省金華四中九年級畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試模擬數(shù)學(xué)卷（帶解析） 題型：解答題

如圖1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A，B在第一象限內(nèi)．
（1）求點E的坐標(biāo)及線段AB的長；
（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連結(jié)PN,設(shè)PE=x.△PMN的面積為S.
①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由.若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）.設(shè)運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′（如圖3）;試探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數(shù)關(guān)系式.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012屆浙江省江山市中考一模數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A、B在第一象限內(nèi)。
（1）  求點E的坐標(biāo)；
（2）  點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，
連結(jié)PN。設(shè)PE=x.△PMN的面積為S。
① 求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
② △PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由。若存在，求出面積的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）。現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）。設(shè)運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′;探究：在運動過程中，等腰梯形ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數(shù)關(guān)系式。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012屆浙江省九年級畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試模擬數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

如圖1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A，B在第一象限內(nèi)．

（1）求點E的坐標(biāo)及線段AB的長；

（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連結(jié)PN,設(shè)PE=x.△PMN的面積為S.

①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由.若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）.設(shè)運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′（如圖3）;試探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數(shù)關(guān)系式.

 

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